Перейти к содержимому

Как найти среднию линию трапеции

    Трапеция. Средняя линия. Часть 1. Трапеция и её виды

    Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?

    Углы трапеции

    Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что и – внутренние односторонние углы при параллельных и и секущей . Поэтому . И точно так же и – внутренние односторонние углы при тех же параллельных и , но секущая теперь – .

    Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

    Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

    Диагональ трапеции рис. 1

    Диагональ трапеции рис. 2

    Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

    А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

    Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники и – подобны по двум углам. Их коэффициент подобия равен отношению оснований: .

    Шраги стоя с гантелями шраги сидя с гантелями Шраги лежа на наклонной Тяга к подбородку со штангой Тяга к подбородку с гантелями Тяга к подбородку на тренажере Тяга к лицу на блочном тренажере Шраги со штангой над головой

    Происхождения слова

    Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида.

    В его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом.

    Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:

    Четырехугольник

    Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.

    Параллель

    И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.

    Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает «обеденный стол». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.

    Средняя линия трапеции

    Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

    Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции

    Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

    Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции рис. 2

    Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

    Трапеция, вписанная в окружность.

    Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

    Трапеция, вписанная в окружность

    Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

    Подведём итог – он короткий. Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

    Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

    Трапеция. Основные понятия и определения

    Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

    Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

    Свойства трапеции

    Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

    Первое свойство трапеции

    Свойства трапеции: первое свойство

    Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:

    Второе свойство трапеции

    Треугольники и подобны по двум углам. ( и – как накрест лежащие)

    Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:

    Третье свойство трапеции

    Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

    Свойства трапеции: третье свойство

    А теперь формула:

    А вот и само третье свойство трапеции:

    Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

    А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

    Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .

    Что же из всего этого следует?

    1. (так как через точку можно провести лишь одну прямую параллельную , поэтому и – одна прямая )

    Четвертое свойство трапеции

    Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

    Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками: (трапеция же!) (вписанный четырехугольник) . Ну, и так же .

    Пятое свойство трапеции

    Свойства трапеции: пятое свойство

    Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

    Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

    Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

    Шестое свойство трапеции

    Свойства трапеции: шестое свойство

    Седьмое свойство трапеции

    Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

    Свойства трапеции: седьмое свойство

    Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

    Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

    1. – прямоугольный

    Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине). То есть . Но ведь (так как — параллелограмм) .

    Гири Как накачать трапециевидную мышцу в домашних условиях - основные упражнения и рекомендации Как построить выкройку платья трапеции с рукавом Расположение трапеции

    Конструирование рукава

    Платье может быть без рукавов, с втачными рукавами или реглан. Дизайнеры предлагают смелые стилистические решения с вязаными или кожаными рукавами. Популярными являются контрастные решения: оттенки белого и черного, желтого и фиолетового цветов.

    Изделие без рукавов предполагает открытую пройму. Срез обрабатывается обтачками или косой бейкой. Обтачки полностью повторяют внутренний контур проймы. Ширина деталей составляет от 4 до 6 см в зависимости от изделия.

    Втачной рукав может быть длинным, коротким или ниже локтя, но выше запястья (рукав ¾). Для построения необходимо рассчитать высоту оката и ширину рукава. Высота составляет от 15 до 17 см в зависимости от размера одежды. Ширина зависит от обхвата руки в области бицепса и прибавки на свободное облегание (1−2 см.). Полученную величину распределяют по ½ от высоты оката влево и вправо. От высшей точки оката вниз откладывают длину рукава. Низ рукава, нижний срез оформляют прямыми линиями, окат — плавной. Для проверки построения необходимо измерить пройму по переду и спинке, сравнить результат с величиной оката. Лучшая посадка рукава достигается при длине оката на 1−1, 5 см больше длины проймы.

    Рукав реглан отличается от втачного тем, что выкраивается совместно с плечевой частью изделия. Реглан может быть с плечевым швом или без него. Построение выполняется расчетным способом или моделированием втачного рукава — при строении части спинки и переда к втачному рукаву. Расчет основных параметров осуществляется по формулам:

    • линия шеи = ОШ / 6, где ОШ — обхват шеи;
    • глубина проймы = ОГ / 3+7, где ОГ — обхват груди;
    • линия груди = ОГ / 3 + 4;
    • линия низа = ОЗ + 2, ОЗ — обхват запястья.

    Готовая выкройка платья А-силуэта с рукавом состоит из деталей переда и спинки со сгибом, одной детали рукава.

    ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

    • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°:
    • и
    • Средняя линия трапеции ( ) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: .
    • Средняя линия параллельна основаниям: .
    • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: .
    • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
    • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей ( и ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: .
    • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: .

    • Равнобедренная (равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны: .

    Свойства равнобедренной трапеции:

    • диагонали равны: ;
    • углы при основании равны: ;
    • сумма противолежащих углов равна : .

    • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

    Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: .

    Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: .

    ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

    Стать учеником YouClever,

    Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,

    А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

    можно кликнув по этой ссылке.

    Построение с помощью трикотажной майки

    Майка должна быть чистой и выглаженной. Для точного получения выкройки необходимо разложить изделие на бумагу и зафиксировать его тяжелым предметом, например, книгой, или приколоть булавками.

    Нахождение средней линии треугольника. Как найти среднюю линию трапеции. Средняя Линия Трапеции

    Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины 2-х его сторон. Соответственно, каждого у треугольника три средних линии. Зная качество средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, дозволено обнаружить длину средней линии.

    Вам понадобится

    • Стороны треугольника, углы треугольника

    Инструкция

    1. Пускай в треугольнике ABC MN – средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины 2-х сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.Следственно, для определения длины средней линии треугольника довольно знать длину стороны именно этой третьей стороны.

    2. Пускай сейчас вестимы стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Потому что MN – средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов объективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсель, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

    3. Если знамениты стороны AB и AC, то среднюю линию MN дозволено обнаружить, зная угол ABC либо ACB. Пускай, скажем, знаменит угол ABC. Потому что по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN – соответствующие, и, следственно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следственно, сторону MN дозволено обнаружить из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

    Совет 2: Как обнаружить сторону квадратного треугольника

    Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.

    Вам понадобится

    • – лист бумаги;
    • – ручка;
    • – таблицы Брадиса;
    • – калькулятор.

    Инструкция

    1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .

    2. Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с поддержкой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.

    3. Вычислите длину одного из катетов, если вестимы размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и вестимого катета, также возведенного в квадрат.

    4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

    5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу?, b – катет, прилежащий к углу?. Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу?, а – катет, прилежащий к углу?.

    6. В случае, когда вестим катет a и прилежащий к нему острый угол?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.

    7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.

    Видео по теме

    Порой темы, которые объясняют в школе, могут быть не всегда понятны с первого раза. Особенно это касается такого предмета, как математика. Но все становится намного сложнее, когда эта наука начинает подразделяться на две части: алгебру и геометрию.

    Каждый ученик может обладать способностью к одному из двух направлений, но особенно в начальных классах важно понять базу и алгебры, и геометрии. В геометрии одной из главных тем принято считать раздел о треугольниках.

    Как находить среднюю линию треугольника? Давайте разбираться.

    Основные понятия

    Для начала чтобы разобраться, как находить среднюю линию треугольника, важно понимать, что же это.

    Для проведения средней линии нет ограничений: треугольник может быть любым (равнобедренным, равносторонним, прямоугольным). И все свойства, которые относятся к средней линии, будут действовать.

    Средняя линия треугольника является отрезком, соединяющим середины 2-х его сторон. Следовательно, любой треугольник может иметь 3 таких линии.

    Свойства

    Чтобы знать, как находить среднюю линию треугольника, обозначим ее свойства, которые необходимо запомнить, иначе без них будет невозможным решение задач с необходимостью обозначить длину средней линии, поскольку все полученные данные необходимо обосновать и аргументировать теоремами, аксиомами или свойствами.

    Таким образом, чтобы ответить на вопрос: «Как найти среднюю линию треугольника АВС?», достаточно знать одну из сторон треугольника.

    Приведем пример

    Взгляните на рисунок. На нем представлен треугольник ABC со средней линией DE. Обратим внимание, что она параллельна основанию AC в треугольнике. Следовательно, каким бы ни было значение AC, средняя линия DE будет в два раза меньше. К примеру, AC=20, значит DE=10 и т. д.

    Вот такими несложными способами можно понять, как находить среднюю линию треугольника. Запомните ее основные свойства и определение, и тогда у вас никогда не возникнет проблем с нахождением ее значения.

    Понятие средней линии треугольника

    Введем понятие средней линии треугольника.

    Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).

    Рисунок 1. Средняя линия треугольника

    Теорема о средней линии треугольника

    Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

    Доказательство.

    Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ — средняя линия (как на рисунке 2).

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    Так как $\frac=\frac=\frac<1><2>$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит

    Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.

    Теорема доказана.

    Следствия из теоремы о средней линии треугольника

    Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник $ABC$, где $_1,\ _1,\ _1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).

    Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1

    По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

    Аналогично доказывается, что

    Теорема доказана.

    Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac<1><2>$.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ <\ A>_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)

    Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2

    Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ — средняя линия, то

    Угол $C$ — общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac<1><2>$.

    Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac<1><2>$.

    Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ <\ A>_1C_1,\ B_1C_1$ — средние линии треугольника, то

    Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac<1><2>$.

    Теорема доказана.

    Примеры задачи на понятие средней линии треугольника

    Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника , вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.

    Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны — средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.

    Ответ: $20$ см.

    Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ — середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).

    Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.

    Так как $N\ и\ M$ — середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ — средняя линия. Значит

    По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем:

    В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
    Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

    Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

    Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

    a, b – основания, l – средняя линия.

    Как найти среднюю линию трапеции через площадь

    Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
    S – площадь,
    h – высота,
    a, b – основания.
    Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

    Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

    При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

    l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
    l – искомая величина,
    a – большее основание,
    α, β – углы при нем,
    h – высота фигуры.

    Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

    l – искомая величина,
    b – меньшее основание,
    α, β – углы при нем,
    h – высота фигуры.

    Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

    Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

    l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

    l – линия средины,
    d1, d2 – диагонали,
    φ, γ – углы между ними,
    h – высота фигуры.

    Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

    В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

    • При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

    l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

    • Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

    l – линия средины,
    a, b – основания (b

    Вам интересно, как можно вычислить и найти среднюю линию треугольника. Тогда за дело.

    Найти длину средней линии треугольника достаточно просто. Так как у треугольника три стороны, соответственно три угла и возможно может быть при построении три средних линий.

    Что представляет собой треугольник:

    Три стороны (равносторонний, равнобедренный)

    Три угла (соответственно остроугольный, тупоугольный, прямоугольный треугольники)

    Что такое средняя линия треугольника

    Это отрезок. Отрезок соединяет середину двух сторон треугольника. У любого треугольника три средних линии.

    Свойство 1: Средняя линия треугольника, параллельна стороне треугольника и равна его половине. Следовательно, для определения средней линии треугольника достаточно знать длину третьей стороны.

    Пример: есть треугольник ABC, известно, что средняя сторона КN проведена параллельно АС. Длинна АС=8 см. AB=4 cм, ВС=4 см. Следовательно, для нахождения средней линии треугольника достаточно АС/2 и получить среднюю линию треугольника. Ответ: 4 см средняя линия в заданном треугольнике по существующим параметрам.

    Свойство 2: Если в треугольнике провести три средних линий, то образуется четыре равных подобных треугольника. Коэффициент равен ½.

    Свойство 3: Средняя линия равностороннего треугольника разбивает треугольник на трапецию и треугольник.

    Пример решения задачи: Если мы нарисуем треугольник, то увидим, что вверху треугольника фигура с тремя углами. Внизу четырёхугольника фигура с двумя противоположными сторонами, которые параллельны друг другу.

    Средние линии

    Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

    На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .

    Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

    Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .

    Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.

    Первую часть утверждения 1 мы доказали.

    Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).

    Средние линии треугольника

    Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство

    что и требуется доказать.

    Доказательство утверждения 1 закончено.

    • Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
    • Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .

    Средние линии треугольника

    Средняя линия трапеции

    Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

    Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

    Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

    Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

    Средняя линия трапеции

    На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .

    Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    Доказательство . Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G . Рассмотрим треугольники BCF и FDG . У этих треугольников стороны CF и FD равны, поскольку точка F – середина стороны CD . Углы BCF и FDG равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей CD . Углы BFC и DFG равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники BCF и FDG равны. Из равенства треугольников BCF и FDG следует равенство отрезков BF и FG , откуда вытекает, что отрезок EF является средней линией треугольника ABG . Поэтому

    что и требовалось доказать.

    Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.

    Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:

    Из этих соотношений получаем:

    откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.

    Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

    Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.

    Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

    Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

    Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

    Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .

    Замечание 1 . Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

    Средние линии четырехугольник теорема Вариньона

    На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник» ABCD , средними линиями которого являются отрезки EF и GH .

    Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

    Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

    Теорема Вариньона . Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограмма параллелограмма .

    Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.

    Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника» ABCD доказательство остаётся тем же (рис. 13).

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Утверждение 6 . Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник ABCD , у которого отрезок EF является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    что и требовалось доказать.

    Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

    Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

    Средние линии тетраэдра

    Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).

    Средние линии тетраэдра

    У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .

    Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.

    Средние линии тетраэдра

    У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.

    Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

    Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).

    Средние линии тетраэдра

    Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому

    Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .

    Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:

    Как находится средняя линия трапеции. Как найти среднюю линию трапеции

    Отрезок прямой, соединяющей середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. О том, как найти среднюю линию трапеции и как она соотносится с другими элементами этой фигуры, мы расскажем ниже.

    Теорема о средней линии

    Нарисуем трапецию, в которой AD — большее основание, BC — меньшее основание, EF — средняя линия. Продолжим основание AD за точку D. Проведём линию BF и продолжим её до пересечения с продолжением основания AD в точке О. Рассмотрим треугольники ∆BCF и ∆DFO. Углы ∟BCF = ∟DFO как вертикальные. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к. ВС // АО. Следовательно, треугольники ∆BCF = ∆DFO. Отсюда стороны BF = FO.

    Теперь рассмотрим ∆АВО и ∆EBF. ∟ABO общий для обоих треугольников. BE/AB = ½ по условию, BF/BO = ½, поскольку ∆BCF = ∆DFO. Следовательно, треугольники ABO и EFB подобны. Отсюда отношение сторон EF/AO = ½, как и отношение других сторон.

    Находим EF = ½ AO. По чертежу видно, что AO = AD + DO. DO = BC как стороны равных треугольников, значит, AO = AD + BC. Отсюда EF = ½ АО = ½ (AD + BC). Т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.

    Всегда ли средняя линия трапеции равна полусумме оснований?

    Предположим, что существует такой частный случай, когда EF ≠ ½ (AD + BC). Тогда ВС ≠ DO, следовательно, ∆BCF ≠ ∆DCF. Но это невозможно, поскольку у них равны два угла и стороны между ними. Следовательно, теорема верна при всех условиях.

    Задача о средней линии

    Предположим, в нашей трапеции АВСD АD // ВС, ∟A=90°, ∟С = 135°, АВ = 2 см, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции EF.

    Если ∟А = 90°, то и ∟В = 90°, значит, ∆АВС прямоугольный.

    ∟BCA = ∟BCD — ∟ACD. ∟ACD = 90° по условию, следовательно, ∟BCA = ∟BCD — ∟ACD = 135° — 90° = 45°.

    Если в прямоугольном треугольнике ∆АВС один угол равен 45°, значит, катеты в нём равны: АВ = ВС = 2 см.

    Гипотенуза АС = √(АВ² + ВС²) = √8 см.

    Рассмотрим ∆ACD. ∟ACD = 90° по условию. ∟CAD = ∟BCA = 45° как углы, образованные секущей параллельных оснований трапеции. Следовательно, катеты AC = CD = √8.

    Гипотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.

    Средняя линия трапеции EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.

    В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:

    Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

    Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

    Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

    Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

    Так же это основывается на теореме Фалеса:

    Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

    То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

    Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

    Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

    27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

    Вычисляем по формуле:

    27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

    Выразим большее основание:

    27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

    Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

    Построим второй перпендикуляр DF:

    Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

    В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

    Таким образом DC=6. Вычисляем:

    27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

    Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

    Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

    27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

    Исходя из условия можем записать:

    Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

    Второе уравнение уже можно записать в виде:

    27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

    Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

    Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

    27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

    Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

    Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

    Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

    Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

    27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

    Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

    Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

    Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

    Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

    Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

    Таким образом, средняя линия равна 12.

    *Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

    В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

    27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны 1.

    Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

    Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

    Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Она соединяет середины боковых сторон трапеции и всегда параллельна основаниям.

    Если основания трапеции равны a и b, то средняя линия m равна m=(a+b)/2.

    Если известна площадь трапеции, то среднюю линию можно найти и другим способом, разделив площадь трапеции S на высоту трапеции h:

    То есть, средняя линия трапеции m=S/h

    Способов найти длину средней линии трапеции много. Выбор способа зависит от исходных данных.

    Вот формулы длины средней линии трапеции :

    Чтобы найти среднюю линию трапеции, можно воспользоваться одной из пяти формул (выписывать их не буду, так как они уже есть в других ответах), но это только в тех случаях, когда известны нужные нам значения исходных данных.

    На практике приходится решать много задач, когда данных недостаточно, а нужный размер нужно все таки найти.

    Здесь есть такие варианты

    пошаговым решением подвести все таки под формулу;

    используя другие формулы, составить и решить необходимые уравнения.

    нахождения длины середины трапеции методом подвода под нужную нам формулу с помощью других знаний о геометрии и применяя при этом алгебраические уравнения:

    Имеем равнобедренную трапецию, ее диагонали пересекаются под прямым углом, высота равна 9 см.

    Делаем рисунок и видим, что в лоб эту задачу не решить (недостаточно данных)

    Поэтому мы немного упростим и проведем высоту через точку пересечения диагоналей.

    Это первый важный шаг, который ведет к быстрому решению.

    обозначим высоту двумя неизвестными, увидим нужные нам равнобедренные треугольники со сторонами х и у

    и уже легко найдем сумму оснований трапеции

    она равна 2х+2у

    И вот только теперь мы можем применить формулу где

    и равна она х+у а по условию задачи это длина высоты равная 9 см .

    И вот теперь мы вывели несколько моментов для равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом

    в таких трапециях

    средняя линия всегда равна высоте

    площадь всегда равна квадрату высоты .

    Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

    Среднюю линию любой трапеции несложно найти, если пользоваться формулой:

    m длина средней линии трапеции;

    a, b длины оснований трапеции.

    Итак, длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований .

    Основная формула для формулы средней линии трапеции:длина средней линии трапеции равна полусумме е оснований a и b: MN=(a+b)2.Доказательством этой формулы служит формула для средней линии треугольника.Любая трапеция может быть представлена после того как проведены из концов меньшего основания высоты на большее основание.Рассматриваются 2 полученных треугольника,и прямоугольник.После этого легко доказывается формула для средней линии трапеции.

    Чтобы найти среднюю линию трапеции нам нужно знать величины оснований.

    После того,как нашли эти величины или может быть они нам были известны,то складываем эти числа и просто делим пополам.

    Это и будет средняя линия трапеции .

    Насколько я помню уроки школьной геометрии, для того, чтобы найти длину средней линии трапеции, нужно сложить длины оснований и разделить на два. Таким образом длина средней линии трапеции, равна полусумме оснований.

    Как найти периметр трапеции через среднюю линию. Как найти периметр трапеции

    Основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две — прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза — это известная нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны — AB = CE), а другой — отрезок, длина которого оснований трапеции ED = AD — BC.

    Найдите катеты треугольника: по существующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Теперь вычислите верхнее основание — BC = AD — ED = a — CD*cos(ADC) = a — d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны — AB = CE = d*sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции .

    Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции 😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a — d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) — cos(Альфа) + 1).

    Задача 3.Найдите периметр прямоугольной трапеции , если известны длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при другой боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Теперь найдите длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон.

    Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

    О том, что такое периметр, каждый из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при известном периметре проблем обычно не возникает даже у тех, кто закончил школу давно и успел забыть курс математики. Однако решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника или прямоугольного треугольника удается без подсказки не всем.

    Предположим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а второй 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр любой фигуры, в и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения можно найти неизвестную сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Так как угол? = 30, после преобразования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

    Как уже сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. Поскольку равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника можно найти, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2
    b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

    Как найти длину прямоугольника,если известен периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом делим её пополам, чтобы найти длину.

    Еще из начальной школы многие помнят, как найти периметр любой геометрической фигуры: достаточно узнать длину всех ее сторон и найти их сумму. Известно, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют одинаковую длину, то он называется квадратом. Обычно длиной прямоугольника называют наибольшую из сторон, а шириной – наименьшую.

    • что такое ширина периметра в 2019

    Периметр (Р) – сумма длин всех сторон фигуры, а у четырехугольника их четыре. Значит, чтобы найти периметр четырехугольника, нужно просто сложить длины всех его сторон. Но известны такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, то есть правильные четырехугольники. Их периметры определяются особыми способами.

    Если данная — прямоугольник (или параллелограмм) АВСД, то он обладает следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. ). АВ = СД и АС = ВД. Зная отношение сторон в этой фигуре, можно вывести прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пусть одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Найти периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.

    Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат или ромб, следует применять несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие одинаковые четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб стороны 2 см. Найти его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.

    Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае просто нужно сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Найти АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Найти периметр равнобокой , если ее боковые грани равны 4 см, а основания — 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.

    Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и любой другой фигуры), как сумму длин сторон, не используя выведенные формулы. Они даны для удобства и упрощения вычисления. Не является ошибкой метод решения, важен правильный ответ и знание математической терминологии.

    • как находить периметр прямоугольника

    Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара — нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие — боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне — прямой.

    Задача 1.Найдите основания BC и AD трапеции , если известна длина AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный CED. Известны гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Найдите длины CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Итак: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

    Рассмотрите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и CE вам известны, найдите сторону AE по правилу : сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Итак: AE(2) = AC(2) — CE(2) = f(2) — c*sinα. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы нашли верхнее прямоугольной трапеции .

    Длина основания AD суммой длин двух отрезков AE и ED. AE = квадратный корень(f(2) — c*sinα); ED = c*cosα).Итак: AD = квадратный корень(f(2) — c*sinα) + c*cosα.Вы нашли нижнее основание прямоугольной трапеции .

    Задача 2.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции , если известна длина диагонали BD = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Найдите длины сторон CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

    Рассмотрите прямоугольник ABCE. По свойству AB = CE = c*sinα.Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. По свойству прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы Расчеты будут несколько более длительными, если какую-то из сторон надо вычислить. Например, известно длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам нужно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам известен угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая одновременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим известному вам углу. Чтобы найти гипотенузу АВ которая одновременно является стороной трапеции, достаточно BE разделить на sinA. Точно так же найдите длину второй стороны. Для этого нужно провести высоту из другого верхнего угла, то есть CF.

    Теперь вам известны большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого мало, нужен еще размер меньшего основания. Соответственно, в двух образовавшихся внутри трапеции треугольниках надо найти размеры отрезков AE и DF. Это можно сделать, например, через известных вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

    Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, нужно найти вторую сторону. Это также лучше делать с использованием тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Допустим, вам известны основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете найти угол A (через синус, то есть отношение высоты к известной стороне), отрезок АF ( или тангенс, поскольку угол вам уже известен. Вспомните также свойства – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°.

    Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам нужно найти гипотенузу CD DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного результата – длину уже известного вам отрезка АF. Теперь в прямоугольном треугольнике СFD вам известны два катета, то есть вы можете найти тангенс угла D, а по нему – и сам угол. После этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как уже было описано выше.

    Трапеция – четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне.

    Инструкция

    1. Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон 2-х оснований и 2-х боковых сторон. Задача 1. Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если вестимы длины всех его сторон. Для этого сложите все четыре значения: P (периметр) = a + b + c + d.Это самый примитивный вариант нахождения периметра, задачи с другими исходными данными, в финальном выводе, сводятся к ней. Разглядим варианты.

    2. Задача 2.Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если знаменито нижнее основание AD = a, не перпендикулярная ему боковая сторона CD = d, а угол при этой боковой стороне ADC равен Альфа.Решение.Проведите высоту трапеции из вершины C на большее основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две фигуры – прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза треугольника – это вестимая нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны – AB = CE), а иной – отрезок, длина которого равна разности оснований трапеции ED = AD – BC.

    3. Обнаружьте катеты треугольника: по присутствующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Сейчас вычислите верхнее основание – BC = AD – ED = a – CD*cos(ADC) = a – d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны – AB = CE = d*sin(Альфа).Выходит, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции .

    4. Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции 😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a – d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) – cos(Альфа) + 1).

    5. Задача 3.Обнаружьте периметр прямоугольной трапеции , если вестимы длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при иной боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Сейчас обнаружьте длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Выходит, вы получили длины всех сторон.

    6. Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

    О том, что такое периметр, всякий из нас узнал еще в младших классах. нахождением сторон квадрата при вестимом периметре задач обыкновенно не появляется даже у тех, кто завершил школу давным-давно и поспел позабыть курс математики. Впрочем решить аналогичную задачу в отношении прямоугольника либо прямоугольного треугольника получается без подсказки не каждом.

    Инструкция

    1. Как решить задачу по геометрии, в условии которой приведены только периметр и углы? Безусловно, если речь идет о остроугольном треугольнике либо многоугольнике, то такую задачу без умения длины одной из сторон решить нереально. Впрочем, если речь идет о прямоугольном треугольнике либо прямоугольнике, то по заданному периметру дозволено обнаружить его стороны. Прямоугольник имеет длину и ширину . Если провести диагональ прямоугольника, дозволено найти, что она разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Диагональ является гипотенузой, а длина и ширина – катетами этих треугольников. У квадрата, являющегося частным случаем прямоугольника, диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника.

    2. Представим, что имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, у которого один из углов равен 30 , а 2-й 60. На рисунке видно, что a = c*sin?, а b = c*cos?. Зная, что периметр всякий фигуры, в том числе и треугольника, равен сумме всех его сторон, получаем:a+b+c=c*sin ?+c*cos+c=pИз этого выражения дозволено обнаружить незнакомую сторону c, которая является гипотенузой для треугольника. Потому что угол? = 30, позже реформирования получим:c*sin ?+c*cos ?+c=c/2+c*sqrt(3)/2+c=pОтсюда следует, что с=2p/Соответственно a = c*sin ?=p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

    3. Как теснее сказано выше, диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30 и 60 градусов. От того что периметр прямоугольника равен p=2(a + b), ширину a и длину b прямоугольника дозволено обнаружить, исходя из того, что диагональ является гипотенузой прямоугольных треугольников:a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Эти два уравнения выражены через периметр прямоугольника. По ним вычисляются длина и ширина этого прямоугольника с учетом получившихся углов при проведении его диагонали.

    Видео по теме

    Обратите внимание!
    Как обнаружить длину прямоугольника,если знаменит периметр и ширина? Вычесть из периметра удвоенную ширину, тогда получим удвоенную длину. Потом разделяем её напополам, дабы обнаружить длину.

    Полезный совет
    Еще из исходной школы многие помнят, как обнаружить периметр всякий геометрической фигуры: довольно узнать длину всех ее сторон и обнаружить их сумму. Вестимо, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют идентичную длину, то он именуется квадратом. Обыкновенно длиной прямоугольника называют крупнейшую из сторон, а шириной – наименьшую.

    Периметр (Р) – сумма длин всех сторон фигуры, а у четырехугольника их четыре. Значит, дабы обнаружить периметр четырехугольника, необходимо легко сложить длины всех его сторон. Но вестимы такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, то есть положительные четырехугольники. Их периметры определяются специальными методами.

    Инструкция

    1. Если данная фигура – прямоугольник (либо параллелограмм) АВСД, то он владеет следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. рисунок). АВ = СД и АС = ВД. Зная такое отношение сторон в этой фигуре, дозволено вывести периметр прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пускай одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В прямоугольнике АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Обнаружить периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.

    2. Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат либо ромб, следует использовать несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие идентичные четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская обозначение длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб имеет длину стороны 2 см. Обнаружить его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.

    3. Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае легко необходимо сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Обнаружить периметр трапеции АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что трапеция окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Обнаружить периметр равнобокой трапеции, если ее боковые грани равны 4 см, а основания – 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.

    Видео по теме

    Полезный совет
    Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и всякий иной фигуры), как сумму длин сторон, не применяя выведенные формулы. Они даны для комфорта и облегчения вычисления. Не является оплошностью способ решения, значим верный результат и умение математической терминологии.

    Совет 4: Как обнаружить основания прямоугольной трапеции

    Математическая фигура с четырьмя углами именуется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а иная пара – нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции , две другие – боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне – прямой.

    Инструкция

    1. Задача 1.Обнаружьте основания BC и AD прямоугольной трапеции , если вестима длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = ?.Решение:Разглядите прямоугольный треугольник CED. Знамениты гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Обнаружьте длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Выходит: CE = c*sin?; ED=c*cos?.

    2. Разглядите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и катет CE вам вестимы, обнаружьте сторону AE по правилу прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Выходит: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sin?. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы обнаружили верхнее основание прямоугольной трапеции .

    3. Длина основания AD является суммой длин 2-х отрезков AE и ED. AE = квадратный корень(f(2) – c*sin?); ED = c*cos?).Выходит: AD = квадратный корень(f(2) – c*sin?) + c*cos?.Вы обнаружили нижнее основание прямоугольной трапеции .

    4. Задача 2.Обнаружьте основания BC и AD прямоугольной трапеции , если вестима длина диагонали BD = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = ?.Решение:Разглядите прямоугольный треугольник CED. Обнаружьте длины сторон CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

    5. Разглядите прямоугольник ABCE. По свойству прямоугольника AB = CE = c*sin?.Разглядите прямоугольный треугольник ABD. По свойству прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следственно AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?.Вы обнаружили нижнее основание прямоугольной трапеции AD = квадратный корень(f(2) – c*sin?).

    6. По правилу прямоугольника BC = AE = AD – ED = квадратный корень(f(2) – c*sin?) – с*cos?.Вы обнаружили верхнее основание прямоугольной трапеции .

    Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Дабы вычислить ее периметр, надобно знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть различными.

    Вам понадобится

    • – калькулятор;
    • – таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
    • – бумага;
    • – чертежные принадлежности.

    Инструкция

    1. Самый примитивный вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их надобно легко сложить. Дозволено воспользоваться дальнейшей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

    2. Есть дана равнобедренная трапеция, довольно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

    3. Расчеты будут несколько больше долгими, если какую-то из сторон нужно вычислить. Скажем, вестимо длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам надобно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам вестим угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая единовременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим знаменитому вам углу. Дабы обнаружить гипотенузу АВ которая единовременно является стороной трапеции, довольно BE поделить на sinA. Верно так же обнаружьте длину 2-й стороны. Для этого надобно провести высоту из иного верхнего угла, то есть CF. Сейчас вам вестимы большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого немного, надобен еще размер меньшего основания. Соответственно, в 2-х образовавшихся внутри трапеции треугольниках нужно обнаружить размеры отрезков AE и DF. Это дозволено сделать, скажем, через косинусы вестимых вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Дабы обнаружить катет, необходимо гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

    4. Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, необходимо обнаружить вторую сторону. Это также отличнее делать с применением тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Возможен, вам вестимы основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете обнаружить угол A (через синус, то есть отношение высоты к знаменитой стороне), отрезок АF (через косинус либо тангенс, от того что угол вам теснее знаменит. Припомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам надобно обнаружить гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного итога – длину теснее вестимого вам отрезка АF. Сейчас в прямоугольном треугольнике СFD вам знамениты два катета, то есть вы можете обнаружить тангенс угла D, а по нему – и сам угол. Позже этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как теснее было описано выше.

    Видео по теме

    Трапеция – четырехугольная геометрическая фигура, имеющая две параллельные стороны, которые называются основаниями, и две непараллельные боковые стороны. Если боковые стороны равны, то фигура называется равнобедренной трапецией. Прямоугольная трапеция – когда одна боковая сторона образует с основанием прямой угол. Для нахождения периметра трапеции можно воспользоваться одним из методов, в зависимости от исходных данных.

    Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон и оснований

    В этом случае никаких затруднений нет. Воспользовавшись формулой P=a+b+c+d и подставив все известные данные, легко найдем периметр трапеции. Например: a=5, b=4, c=6, d=4. Используя формулу, получаем P=5+4+6+4=19

    Данный метод нельзя использовать, если не известна длина хотя бы одной из сторон.

    Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон, верхнего основания и высоты

    Разбиваем трапецию на два треугольника и прямоугольник.

    Для того чтобы можно было воспользоваться формулой P=a+b+c+d, необходимо найти нижнее основание. Его можно представить как выражение k+a+n.

    Далее воспользуемся теоремой Пифагора. Запишем формулу для первого треугольника c^2=h^2+k^2. После преобразований получаем k=(c^2-h^2)^1/2. Для второго треугольника: b^2=h^2+n^2, итого n=(b^2-h^2)^1/2. После всех вычислений получаем P=a+b+(n+a+k)+c.

    Как найти периметр трапеции, когда известны оба основания и высота (для равнобедренной трапеции)

    Как и в предыдущем методе, необходимо разделить трапецию на прямоугольник и два треугольника. Гипотенузы треугольников являются так же боковыми сторонами трапеции, которые необходимо найти. Меньший катет находим следующим образом.

    Так как трапеция равнобедренная, от длины большего основания вычитаем длину меньшего и делим пополам, т.е. d1=d2=(d-a)/2.

    Воспользовавшись теоремой Пифагора, находим боковые стороны c=(d(1)^2+h^2)^1/2. Далее по формуле P=a+2c+d высчитываем периметр.

    Как найти периметр трапеции, когда известны нижнее основание, боковые стороны и нижние углы

    Рассмотрим пример, когда известны нижнее основание AD, боковые стороны AB и CD, а так же углы BAD и CDA.

    Из вершин B и C проводим две высоты, которые образуют прямоугольник и два прямоугольных треугольника. В треугольнике ABK сторона AB является гипотенузой. Осталось найти катеты по формуле BK=AB*sin(BAK) и AK=AB*cos(BAK). Так как BK и CN – высоты, то они равны. По такой же формуле находим ND=CD*cos(CDN). Осталось вычислить BC=AD-AK-ND. Теперь необходимо сложить все стороны и ответ готов.

    Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон и средней линии

    Средняя линия трапеции равна половине суммы длин ее оснований, т.е. f=(a+d)/2. Когда длина оснований неизвестна, но даны размеры боковых сторон и средней линии, периметр находится по формуле P=2*f+c+b.

    Как видно, найти периметр трапеции не так уж и сложно. Приступая к решению задачи, нужно лишь определить, какие величины известны и каким методом можно воспользоваться. И тогда решить даже сложную задачу не составит труда.

    Трапеция – это двухмерная геометрическая фигура, имеющая четыре вершины и лишь две параллельные стороны. Если длина 2-х ее непараллельных сторон идентична, то трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Рубеж такого многоугольника, составленную из его сторон, принято обозначать греческим словом «периметр». В зависимости от комплекта начальных данных вычислять длину периметра надобно по различным формулам.

    Инструкция

    1. Если знамениты длины обоих оснований (a и b) и длина боковой стороны (c), то периметр (P) этой геометрической фигуры рассчитывается дюже примитивно. Потому что трапеция равнобедренна, то ее боковые стороны имеют идентичную длину, а это значит, что вам знамениты длины всех сторон – примитивно сложите их: P = a+b+2*c.

    2. Если длины обоих оснований трапеции незнакомы, но дана длина средней линии (l) и боковой стороны (c), то и этих данных довольно для вычисления периметра (P). Средняя линия параллельна обоим основаниям и по длине равна их полусумме. Удвойте это значение и добавьте к нему тоже удвоенную длину боковой стороны – это и будет периметром равнобедренной трапеции: P = 2*l+2*c.

    3. Если из условий задачи знамениты длины обоих оснований (a и b) и высота (h) равнобедренной трапеции, то с подмогой этих данных дозволено восстановить длину недостающей боковой стороны. Сделать это дозволено разглядев прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет незнакомая сторона, а катетами – высота и короткий отрезок, тот, что она отсекает от длинного основания трапеции. Длину этого отрезка дозволено вычислить, поделив напополам разность между длинами большего и меньшего оснований: (a-b)/2. Длина гипотенузы (боковой стороны трапеции), согласно теореме Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы возведенных в квадрат длин обоих вестимых катетов. Замените в формуле из первого шага длину боковой стороны полученным выражением, и вы получите такую формулу периметра: P = a+b+2*?(h?+(a-b)?/4).

    4. Если в условиях задачи даны длины меньшего основания (b) и боковой стороны (c), а также высота равнобедренной трапеции (h), то рассматривая тот же вспомогательный треугольник, что и в предыдущем шаге, вам придется вычислять длину катета. Опять воспользуйтесь теоремой Пифагора – желанная величина будет равна корню из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны (гипотенузы) и высотой (катетом): ?(c?-h?). По этому отрезку незнакомого основания трапеции дозволено восстановить его длину – удвойте это выражение и добавьте к итогу длину короткого основания: b+2*?(c?-h?). Подставьте это выражение в формулу из первого шага и обнаружьте периметр равнобедренной трапеции: P = b+2*?(c?-h?)+b+2*c = 2*(?(c?-h?)+b+c).

    Совет 2: Как обнаружить боковые стороны равнобедренной трапеции

    Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны именуются основаниями. Их финальные точки объединены отрезками, которые именуются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

    Вам понадобится

    • – равнобедренная трапеция;
    • – длины оснований трапеции;
    • – высота трапеции;
    • – лист бумаги;
    • – карандаш;
    • – линейка.

    Инструкция

    1. Постройте трапецию согласно условиям задачи. Вам обязаны быть даны несколько параметров. Как водится, это оба основания и высота. Но допустимы и другие данные — одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пускай будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны — х. От того что трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.

    2. Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки пересечения обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника — AМВ и СND. Они равны, от того что по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

    3. Для того, дабы обнаружить длину суммы этих отрезков, нужно из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет равен разности оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

    4. Обнаружьте длину боковой стороны трапеции, которая единовременно является и гипотенузой прямоугольного треугольника с вестимыми вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=?y2+h2=?(a-b)2/4+h2.

    5. Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не надобно. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN либо x=h*sinBAM.

    6. Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, обнаружьте необходимый угол, исходя из свойства параллельных прямых. Припомните одно из свойств равнобедренной трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

    Обратите внимание!
    Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если поделить оба ее основания напополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Скажем, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а иной — половине их разности.

    Совет 3: Как обнаружить среднюю линию равнобедренной трапеции

    Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны – они именуются основаниями этой фигуры. Если при этом длины 2-х других – боковых – сторон идентичны, трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, именуется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими методами.

    Инструкция

    1. Если знамениты длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины средней линии (L) используйте основное качество этого элемента равнобедренной трапеции – она равна полусумме длин оснований: L = ?*(А+В). Скажем, в трапеции с основаниями, имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна?*(10+20) = 15см.

    2. Средняя линия (L) совместно с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в начальных условиях задачи, для вычисления длины средней линии разделяете площадь на высоту: L = S/h. Скажем, при площади в 75 см? равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю линию длиной в 75/15 = 5см.

    3. При вестимых периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже нетрудно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований – поделите ее напополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Скажем, при периметре, равном 150см, и боковой стороне длиной в 25см длина средней линии должна составить (150-2*25)/2 = 50см.

    4. Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (?) равнобедренной трапеции, тоже дозволено вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина иного вестима. Это дозволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов – поделите высоту на синус вестимого угла: h/sin(?). После этого подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите такое равенство: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?). Скажем, если вестимый угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

    Совет 4: Как обнаружить периметр равнобедренного треугольника

    Периметр — это сумма всех сторон многоугольника. В верных многоугольниках сурово определенная связанность между сторонами разрешает упростить нахождение периметра.

    Инструкция

    1. В произвольной фигуре, ограниченной различными отрезками ломаной линии, периметр определяется последовательным измерением сторон и суммированием итогов измерения. Для положительных многоугольников нахождение периметра допустимо вычислением по формулам, рассматривающим связи между сторонами фигуры.

    2. В произвольном треугольнике со сторонами а, b, с периметр Р вычисляется по формуле: Р=а+b+с. У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой: а=b, и формула нахождения периметра упрощается до Р=2*а+с.

    3. Если в равнобедренном треугольнике по условию даны размеры не всех сторон, то для нахождения периметра дозволено применять другие вестимые параметры, скажем площадь треугольника, его углы, высоты, биссектрисы и медианы. Скажем, если знамениты только две равные стороны равнобедренного треугольника и всякий из его углов, то третью сторону обнаружьте по теореме синусов, из которой следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина непрерывная для данного треугольника. Тогда незнакомая сторона может быть выражена через знаменитую: a=b*SinА/SinВ, где А – угол супротив неведомой стороны а, В – угол вопреки знаменитой стороны b.

    4. Если знаменита площадь S равнобедренного треугольника и его основание b, то из формулы для определения площади треугольника S=b*h/2 обнаружьте высоту h: h=2*S/b. Эта высота, опущенная на основание b, делит данный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковые стороны a начального равнобедренного треугольника являются гипотенузами прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов b и h. Тогда периметр P равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:P=b+2*?(b?/4) +4*S?/b?).

    Совет 5: Как обнаружить основание равнобедренной трапеции

    Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на 2-х параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

    Инструкция

    1. У равнобедренной (либо равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

    2. Трапеция имеет два основания, и дабы их обнаружить, надобно вначале обозначить фигуру. Пускай дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом вестимы все параметры, помимо оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

    3. Для решения задачи об основании трапеции проще каждого будет составить систему уравнений, дабы через взаимосвязанные величины обнаружить надобные основания.

    4. Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, дабы в будущем было комфортно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, дозволено запутаться.

    5. Выпишите все формулы, которые сгодятся при решении поставленной задачи, применяя знаменитые данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

    6. Припомните качество равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсель следует, что два основания дозволено связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH либо y=x+2AH

    7. Обнаружьте катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы теснее записали. Пускай он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.

    8. Выразите через площадь трапеции неведомую величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC либо y=2*S/h-x.

    9. Позже этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение всякий системы уравнений дозволено обнаружить механически в программе MathCAD.

    Полезный совет
    Усердствуйте неизменно при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется значительно стремительней.

    Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Дабы вычислить ее периметр, необходимо знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть различными.

    Вам понадобится

    • – калькулятор;
    • – таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
    • – бумага;
    • – чертежные принадлежности.

    Инструкция

    1. Самый примитивный вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их надобно примитивно сложить. Дозволено воспользоваться дальнейшей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

    2. Есть дана равнобедренная трапеция, довольно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

    3. Расчеты будут несколько больше долгими, если какую-то из сторон нужно вычислить. Скажем, знаменито длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам надобно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам знаменит угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая единовременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим знаменитому вам углу. Дабы обнаружить гипотенузу АВ которая единовременно является стороной трапеции, довольно BE поделить на sinA. Верно так же обнаружьте длину 2-й стороны. Для этого необходимо провести высоту из иного верхнего угла, то есть CF. Сейчас вам знамениты большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого немного, надобен еще размер меньшего основания. Соответственно, в 2-х образовавшихся внутри трапеции треугольниках нужно обнаружить размеры отрезков AE и DF. Это дозволено сделать, скажем, через косинусы вестимых вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Дабы обнаружить катет, надобно гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

    4. Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, надобно обнаружить вторую сторону. Это также отличнее делать с применением тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Возможен, вам знамениты основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете обнаружить угол A (через синус, то есть отношение высоты к знаменитой стороне), отрезок АF (через косинус либо тангенс, от того что угол вам теснее вестим. Припомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам надобно обнаружить гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного итога – длину теснее вестимого вам отрезка АF. Сейчас в прямоугольном треугольнике СFD вам знамениты два катета, то есть вы можете обнаружить тангенс угла D, а по нему – и сам угол. Позже этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как теснее было описано выше.

    Видео по теме

    Найдите периметр трапеции. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим решение типовых задачек входящих в состав экзамена по математике. Требуется вычислить периметр трапеции. Можно сказать, что это задания для устных вычислений, они просты. Перед решением рекомендую посмотреть статью « » . Рассмотрим задачи:

    27834. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60 0 . Найдите ее периметр.

    Для того, чтобы найти периметр нам необходимо вычислить боковую сторону. Из вершин меньшего основания опустим высоты:

    AD является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ADF. Её мы можем вычислить воспользовавшись определением косинуса:

    AF мы можем вычислить:

    Таким образом периметр равен 12+27+15+15=69.

    *При решении задачи также можно было воспользоваться свойством катета лежащего против угла 30°. Посмотрите:

    ∠ADF равен 30°, катет AF равен половине гипотенузы AD. AF=7,5 следовательно AD будет равно 15.

    27835. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

    Ход решения очевиден! Давайте посмотрим на эскиз: AD и AE это часть периметра, DE=CB – противолежащие стороны параллелограмма. То есть

    Остаётся прибавить DC и EB. В условии сказано, что DC=4. Так DC и EB являются противолежащими сторонами параллелограмма, то они равны:

    Источники:

    https://sportpit68.ru/trenirovki/kak-postroit-trapeciyu.html
    https://uotsh.ru/nahozhdenie-srednei-linii-treugolnika-kak-naiti-srednyuyu-liniyu-trapecii.html
    https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mline.htm
    https://netdenegnakino.ru/kak-nahoditsya-srednyaya-liniya-trapecii-kak-naiti-srednyuyu-liniyu-trapecii.html
    https://srcaltufevo.ru/kak-naiti-perimetr-trapecii-cherez-srednyuyu-liniyu-kak-naiti-perimetr.html

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    Adblock
    detector