Перейти к содержимому

Как найти острый угол трапеции

    Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой

    Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы решили подробно рассказать о такой геометрической фигуре, как ТРАПЕЦИЯ.

    Рожица

    Ее подробно изучают на уроках геометрии в 8-м классе. И эти уроки являются частью общего знакомства школьников с различными четырехугольниками.

    Определение трапеции

    Трапеция – геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник, у которого две противоположные стороны располагаются на параллельных прямых. А две другие стороны должны, наоборот, быть не параллельными.

    Определение трапеции

    Вот так выглядит классическая трапеция:

    Фигура

    У этой фигуры стороны АВ и CD являются параллельными. А вот AD и CB – нет.

    Происхождения слова

    Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида .

    В его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом.

    Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:

    Четырехугольник

    Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.

    Параллель

    И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.

    Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает « обеденный стол ». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.

    Стороны трапеции

    Парные стороны трапеций имеют свои названия:

    1. Основания трапеции – стороны, которые располагаются на параллельных прямых.
    2. Боковые – стороны, которые не находятся на параллельных прямых.

    Закрепим это с помощью рисунка:

    Рисунок

    В данном случае стороны АВ и CD параллельны друг другу. А значит, именно они являются основаниями. А вот АС и BD – наоборот, явно не параллельны. И соответственно, это боковые стороны.

    Кстати, расположение сторон не зависит от расположения самой фигуры. Даже вот в таких положениях

    Стороны

    все равно параллельные стороны будут считаться основаниями, а непараллельные – боковыми.

    Равнобедренная и прямоугольная трапеции

    Вариант трапеции, который мы рассмотрели – это самые распространенные виды геометрической фигуры. Но есть и частные случаи:

    Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые (не параллельные) стороны равны. Ее еще называют равнобокой или равнобочной.

    Выглядит она вот так:

    Равнобедренная

    В данном примере графически показано, что стороны AD и ВС равны между собой. Об этом свидетельствуют небольшие черточки.

    Прямоугольная трапеция – та, у которой одна из боковых сторон и основания образовывают прямой угол.

    Выглядит она вот так:

    Прямоугольная

    В данном примере, углы DAB и ADC являются прямыми, то есть равны 90 градусам. А соответственно, трапеция называется прямоугольной.

    Тут важно заметить, что под прямым углом к основанию должна идти только одна боковая сторона. Если будут обе, то трапеция автоматически превратится в квадрат .

    Свойства трапеций

    С трапециями связаны несколько понятий в геометрии, которые активно используются для решения различных теорем.

    Средняя линия

    Средняя линия трапеции – это отрезок, который идет параллельно основаниям и соединяет середины:

    Средние линии

    Со средней линией связана одна интересная теорема. Очень часто на уроках геометрии школьников просят определить ее длину. И сделать это весьма просто.

    Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин ее оснований.

    Звучит может и несколько тяжеловато. Но на деле – это весьма просто. Так, чтобы посчитать в нашем примере длину отрезка MN, который является средней линией, надо применить формулу:

    И это правило распространяется на все виды трапеций.

    Биссектриса углов трапеции

    Биссектриса – это линия (луч), которая делит угол пополам. Так вот

    Любая биссектриса, выведенная из угла трапеции, отсекает на основании отрезок, равный по длине боковой стороне.

    Биссектриса

    На данном рисунке отрезок АЕ является биссектрисой угла ABD. И исходя из этого, отрезки АВ и ВЕ равны между собой, о чем свидетельствуют небольшие черточки на них.
    В то же время у биссектрис в трапеции есть еще одно свойство.

    Две биссектрисы, выведенные из углов одной боковой стороны, пересекаются под прямым углом.

    Все эти теоремы в процессе школьного обучения, ученикам еще необходимо доказывать. Ну а мы решили не приводить долгие математические и геометрические выкладки. Просто примите как данность!

    Острый угол в трапеции. Запоминаем и применяем свойства трапеции

    Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению , как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, ?

    Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, .

    Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):

    Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:

    *И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.

    27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

    Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:

    В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.

    По теореме Пифагора указанный катет равен:

    27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.

    Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:

    27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.

    Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):

    Можем вычислить высоту трапеции, а затем найти катет:

    По теореме Пифагора вычисляем катет:

    Таким образом, меньшее основание равно:

    27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

    Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее основание разбивается на отрезки:

    Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:

    27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.

    Строим высоты и вычисляем чему равен катет:

    Таким образом большее основание будет равно:

    27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

    Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:

    По определению тангенса:

    77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

    Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:

    Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:

    27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50 0 ? Ответ дайте в градусах.

    Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 . В нашем случае это

    C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50 0 , то есть

    Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

    Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

    У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.

    Другие углы в прямоугольной трапеции − это всегда острый и тупой. Причем их сумма всегда будет равна 180 градусам.

    Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

    Какие обозначения приняты в представленных формулах?

    Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

    Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

    Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

    Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

    c = (a — b) * tg α;

    c = √ (d 2 — (a — b) 2).

    Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

    В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

    Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

    Можно записать формулы для другой боковой стороны. Их тоже три:

    d = (a — b) /cosα;

    d = c / sin α;

    d = √ (c 2 + (а — b) 2).

    Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

    Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

    Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

    S = (a + b) * h / 2.

    Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

    Как быть, если нужно вычислить диагонали?

    В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

    d1 = √ (с 2 + b 2)

    или по-другому, заменив «с» на «h»:

    d1 = √ (h 2 + b 2).

    Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

    d2 = √ (с 2 + b 2) или d 2 = √ (h 2 + а 2).

    Задача №1

    Условие . Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм 2 . Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

    Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

    Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с 2 + (а — b) 2). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

    Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

    а + b = 30 и а — b = 6.

    Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

    Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

    Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

    Задача №2

    Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

    Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

    Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d 2 = с 2 + (a — b) 2 или (a + b) 2 = с 2 + (a — b) 2 .

    Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия — 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

    В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см 2 .

    Ответ. Искомая площадь 36 см 2 .

    Задача №3

    Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

    Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

    Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

    Теперь осталось только подставить все величины в формулу площади:

    150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

    Решение этого уравнения дает корень 20

    Ответ. Меньшая диагональ имеет длину 20 см.

    В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

    Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

    Трапеция и все-все-все

    Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

    Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

    В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

    Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

    Свойства диагоналей трапеции

    Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

    1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
    2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
      Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
    3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
    4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
      Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
    5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
    6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

    Свойства средней линии трапеции

    Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

    1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
    2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

    Свойство биссектрисы трапеции

    Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

    Свойства углов трапеции

    1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
    2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
    3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

    Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

    1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
    2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
    3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
    4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
    5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
    6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
    7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
    8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

    Свойства трапеции, вписанной в окружность

    Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

    1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
    2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
    3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
    4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
    5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
    6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

    Свойства трапеции, описанной около окружности

    Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

    1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
    2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
    3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
    4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
    5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
      Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

    Свойства прямоугольной трапеции

    Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

    1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
    2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формулаS = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
    3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

    Доказательства некоторых свойств трапеции

    Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

    • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

    Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

    АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

    Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

    Что и требовалось доказать.

    Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

    • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

    ∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

    МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

    У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

    Задача для повторения

    Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

    Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

    Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

    Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

    Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

    Послесловие

    Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

    Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

    Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

    сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Трапеция — это плоский четырехугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции , а две другие стороны — боковыми сторонами трапеции .

    Инструкция

    Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции . Пусть известны углы &ang-BAD и &ang-CDA, найдем углы &ang-ABC и &ang-BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°-. Тогда &ang-ABC = 180°—&ang-BAD, а &ang-BCD = 180°—&ang-CDA.

    трапеции» data-lightbox=»article-image»>

    В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол &ang-CAD = α-.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда &ang-BAC = &ang-BCA. Обозначим его x для краткости, а &ang-ABC — y. Сумма углов любого треугольник а равна 180°-, из этого следует, что 2x + y = 180°-, тогда y = 180°- — 2x. В то же время из свойств трапеции : y + x + α- = 180°- и следовательно 180°- — 2x + x + α- = 180°-. Таким образом, x = α-. Мы нашли два угла трапеции : &ang-BAC = 2x = 2α- и &ang-ABC = y = 180°- — 2α-.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит,

    Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

    Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

    — это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

    Элементы трапеции

    a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

    m, n — боковые стороны трапеции,

    d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

    h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

    MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

    Площадь трапеции

    1. Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac<2>\cdot h
    2. Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
    3. Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac d_ <2>\sin \varphi>

    Свойства трапеции

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

    MN || a, MN || b, MN = \frac

    Сумма углов трапеции

    Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^ <\circ>:

    \alpha + \beta = 180^

    \gamma + \delta =180^

    Равновеликие треугольники трапеции

    Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.

    Подобие образованных треугольников трапеции

    Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

    \triangle AOD \sim \triangle COB

    Коэффициент подобия k находится по формуле:

    Причем отношение площадей этих треугольников равно k^ <2>.

    Отношение длин отрезков и оснований

    Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

    Прямоугольная и равнобедренная трапеция: свойства и признаки

    С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции, которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально.

    Основные понятия

    Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

    Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые параллельны друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).

    трапеция это

    Если сложить все градусные меры внутренних углов, то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей. Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.

    Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).

    Как найти площадь

    Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD пользуются следующей формулой:

    Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади

    Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что

    Пускай DF – будет высотой. Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:

    Т.е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.

    Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.

    [stop]Важно! При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.[/stop]

    Виды трапеций

    В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

    Разнобокая

    Существует две формы: остроугольная и тупоугольная. ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

    Если боковины по длине равны

    Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

    Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

    1. Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
    2. Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
    3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
    4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить окружность.
    5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

    Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции:

    1. Если диагонали пересекаются под углом, то половина суммы оснований будет равна длине высоты.
    2. В случае, когда в правильную трапецию построена, или может быть построена, окружность, то квадрат высоты равен произведению величин оснований.
    3. Ось симметрии и средняя линия трапеции являются одним и тем же ГМТ.
    4. Когда диагонали пересекаются под прямым углом, тогда для вычисления площади потребуется формула:
    5. Окружность вписанная в трапецию, делает величину средней линии равной боковой.

    Значение угла при основании 90°

    Перпендикулярность боковой стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим — тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

    Отрезок между серединами боковин

    Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния вычисляется по формуле:

    Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.

    Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.

    Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований

    Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:

    Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.

    [stop]Важно! Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.[/stop]

    Определение высоты, и способы как её найти

    Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.

    Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции

    Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис.5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

    Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

    Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .

    Тогда получим следующее уравнение:

    Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:

    Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты — процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

    [stop]Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.[/stop]

    Как быстро вычислить длину основания

    Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.

    Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

    (14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).

    Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как:

    • средняя линия;
    • площадь;
    • высота;
    • диагонали.

    Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.

    Видео: трапеция и ее свойства

    Видео: особенности трапеции

    Вывод

    Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.

    Как найти косинус угла в трапеции. Прямоугольная трапеция

    Если известны длины обоих оснований (b и c) и одинаковых по определению боковых сторон (a) равнобедренной , то для вычисления величины одного из ее острых углов (γ) можно использовать прямоугольного треугольника. Для этого опустите высоту из любого прилегающего к короткому основанию угла. Прямоугольный треугольник будет образован высотой (), боковой стороной (гипотенуза) и отрезком длинного основания между высотой и ближней боковой стороной (второй катет). Длину этого отрезка можно найти, отняв от длины большего основания длину меньшего и поделив результат пополам: (c-b)/2.

    Получив значения длин двух смежных сторон прямоугольного треугольника, переходите к вычислению угла между ними. Отношение длины гипотенузы (a) к длине катета ((c-b)/2) дает значение косинуса этого угла (cos(γ)), а функция арккосинус поможет преобразовать его в величину угла в градусах: γ=arccos(2*a/(c-b)). Так вы получите величину одного из острых , а поскольку она равнобедренна, то и второй острый угол будет иметь такую же величину. Сумма всех углов должна составлять 360°, а это , что сумма двух углов будет равна разности между этим и удвоенной величиной острого угла. Поскольку оба тупых угла тоже будут одинаковы, то для нахождения величины каждого из них (α) эту разность надо поделить пополам: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*a/(c-b)). Теперь у вас есть вычисления всех углов равнобедренной трапеции по известным длинам ее сторон.

    Если длины боковых сторон фигуры неизвестны, но дана ее высота (h), то действовать нужно по такой же схеме. В этом случае в прямоугольном треугольнике, составленном из , боковой стороны и короткого отрезка длинного основания, вам будут известны длины двух катетов. Их соотношение определяет тангенс нужного вам угла, а эта тригонометрическая функция тоже имеет своего антипода, преобразующего значение тангенса в величину угла — арктангенс. Полученные в предыдущем шаге формулы острого и тупого углов трансформируйте соответствующим образом: γ=arctg(2*h/(c-b)) и α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

    Для решения этой задачи методами векторной алгебры, вам необходимо знать следующие понятия: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить свойство суммы внутренних углов четырехугольника.

    • — бумага;
    • — ручка;
    • — линейка.

    Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной полностью, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Положение вектора больше ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, обладающие длинами и одним направлением. Поэтому при использовании координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (начало в начале координат).

    По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов называется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это можно продолжать и далее, строя цепочку аналогично расположенных векторов.
    Изобразите заданный ABCD векторами a, b, c и d в рис. 1. Очевидно, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.

    Скалярное произведение в данном случае удобнее на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Здесь ф1 – угол между векторами a и d.
    Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими :
    (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда
    cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

    Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению , как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, ?

    Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, .

    Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):

    Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:

    *И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.

    27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

    Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:

    В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.

    По теореме Пифагора указанный катет равен:

    27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.

    Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:

    27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.

    Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):

    Можем вычислить высоту трапеции, а затем найти катет:

    По теореме Пифагора вычисляем катет:

    Таким образом, меньшее основание равно:

    27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

    Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее основание разбивается на отрезки:

    Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:

    27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.

    Строим высоты и вычисляем чему равен катет:

    Таким образом большее основание будет равно:

    27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

    Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:

    По определению тангенса:

    77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

    Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:

    Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:

    Из основного тригонометрического тождества найдём cosα

    27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50 0 ? Ответ дайте в градусах.

    Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 . В нашем случае это

    C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50 0 , то есть

    Из точек D и C опустим две высоты:

    Как уже сказано выше они разбивают большее основание на три отрезка: один равен меньшему основанию, два других равны друг другу.

    В данном случае они равны 3, 9 и 3 (в сумме 15). Кроме того, отметим что высотами отсекаются прямоугольные треугольники, причём они являются равнобедренными, так как углы при основании равны по 45 0 . Отсюда следует, что высота трапеции будет равна 3.

    На этом всё! Успеха вам!

    С уважением, Александр.

    На простой вопрос «Как найти высоту трапеции?» существует несколько ответов, и все потому, что могут быть даны разные исходные величины. Поэтому и формулы будут различаться.

    Эти формулы можно запомнить, но они несложно выводятся. Нужно только применять ранее изученные теоремы.

    Принятые в формулах обозначения

    Во всех приведенных ниже математических записях верны такие прочтения букв.

    В исходных данных: все стороны

    Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае потребуется воспользоваться такой формулой:

    н = √(с 2 — (((а — в) 2 + с 2 — d 2)/(2(а — в))) 2). Номер 1.

    Не самая короткая, но и встречается в задачах достаточно редко. Обычно можно воспользоваться другими данными.

    Формула, которая подскажет, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, гораздо короче:

    н = √(с 2 — (а — в) 2 /4). Номер 2.

    В задаче даны: боковые стороны и углы при нижнем основании

    Принимают, что угол α прилежит к боковой стороне с обозначением «с», соответственно угол β к стороне d. Тогда формула для того, как найти высоту трапеции, в общем виде будет такой:

    н = с * sin α= d * sin β. Номер 3.

    Если фигура равнобедренная, то можно воспользоваться таким вариантом:

    н = с * sin α= ((а — в) / 2) * tg α. Номер 4.

    Известны: диагонали и углы между ними

    Обычно к этим данным присоединяются еще известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится такая формула:

    н = (d 1 * d 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / (а + в). Номер 5.

    Это для общего вида фигуры. Если дана равнобедренная, то запись преобразится так:

    н = (d 1 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 2 * sin δ) / (а + в). Номер 6.

    Когда в задаче идет речь о средней линии трапеции, то формулы для поиска ее высоты становятся такими:

    н = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Номер 5а.

    н = (d 1 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.

    Среди известных величин: площадь с основаниями или средней линией

    Это, пожалуй, самые короткие и простые формулы того, как найти высоту трапеции. Для произвольной фигуры она будет такой:

    н = 2S / (а + в). Номер 7.

    Она же, но с известной средней линией:

    н = S / m. Номер 7а.

    Как ни странно, но для равнобедренной трапеции формулы будут выглядеть так же.

    Задачи

    №1. На определение углов при нижнем основании трапеции.

    Условие. Дана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 5 см. Ее основания равны 6 и 12 см. Требуется найти синус острого угла.

    Решение. Для удобства следует ввести обозначение. Пусть левая нижняя вершина будет А, все остальные по часовой стрелке: В, С, Д. Таким образом, нижнее основание будет обозначено АД, верхнее — ВС.

    Нужно провести высоты из вершин В и С. Точки, которые укажут концы высот будут обозначены Н 1 и Н 2 , соответственно. Поскольку в фигуре ВСН 1 Н 2 все углы прямые, то она является прямоугольником. Это означает, что отрезок Н 1 Н 2 равен 6 см.

    Теперь нужно рассмотреть два треугольника. Они равны, так как являются прямоугольными с одинаковыми гипотенузами и вертикальными катетами. Отсюда следует, что и меньшие катеты у них равны. Поэтому их можно определить как частное от разности. Последняя получится от вычитания из нижнего основания верхнего. Делиться оно будет на 2. То есть 12 — 6 нужно поделить на 2. АН 1 = Н 2 Д = 3 (см).

    Теперь из теоремы Пифагора нужно найти высоту трапеции. Она необходима для нахождения синуса угла. ВН 1 = √(5 2 — 3 2) = 4 (см).

    Воспользовавшись знанием о том, как находится синус острого угла в треугольнике с прямым углом, можно записать такое выражение: sin α= ВН 1 / АВ = 0,8.

    Ответ. Искомый синус равен 0,8.

    №2. На нахождение высоты трапеции по известному тангенсу.

    Условие. У равнобедренной трапеции нужно вычислить высоту. Известно, что ее основания равны 15 и 28 см. Дан тангенс острого угла: 11/13.

    Решение. Обозначение вершин такое же, как в предыдущей задаче. Снова нужно провести две высоты из верхних углов. По аналогии с решением первой задачи нужно найти АН 1 = Н 2 Д, которые определятся как разность 28 и 15, деленная на два. После подсчетов получается: 6,5 см.

    Поскольку тангенс — это отношение двух катетов, то можно записать такое равенство: tg α= АН 1 / ВН 1 . Причем это отношение равно 11/13 (по условию). Так как АН 1 известен, то можно вычислить высоту: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Простые расчеты дают результат в 5,5 см.

    Ответ. Искомая высота равна 5,5 см.

    №3. На вычисление высоты по известным диагоналям.

    Условие. О трапеции известно, что ее диагонали равны 13 и 3 см. Нужно узнать ее высоту, если сумма оснований составляет 14 см.

    Решение. Пусть обозначение фигуры будет таким же, как раньше. Предположим, что АС — меньшая диагональ. Из вершины С нужно провести искомую высоту и обозначить ее СН.

    Теперь потребуется выполнить дополнительное построение. Из угла С нужно провести прямую, параллельную большей диагонали и найти точку ее пересечения с продолжением стороны АД. Это будет Д 1 . Получилась новая трапеция, внутри которой начерчен треугольник АСД 1 . Он-то и нужен для дальнейшего решения задачи.

    Искомая высота окажется еще и ей же в треугольнике. Поэтому можно воспользоваться формулами, изученными в другой теме. Высота треугольника определяется как произведение числа 2 и площади, деленное на сторону, к которой она проведена. А сторона оказывается равна сумме оснований исходной трапеции. Это исходит из правила, по которому выполнено дополнительное построение.

    В рассматриваемом треугольнике все стороны известны. Для удобства введем обозначения х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

    Теперь можно сосчитать площадь, воспользовавшись теоремой Герона. Полупериметр будет равен р = (х + у + z)/ 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тогда формула для площади после подстановки значений будет выглядеть так: S = √(15 * (15 — 3) * (15 — 13) * (15 — 14)) = 6 √10 (см 2).

    Ответ. Высота равна 6√10 / 7 см.

    №4. Для поиска высоты по сторонам.

    Условие. Дана трапеция, три стороны которой равны 10 см, а четвертая 24 см. Нужно узнать ее высоту.

    Решение. Поскольку фигура равнобедренная, то потребуется формула под номером 2. В нее нужно просто подставить все значения и сосчитать. Это будет выглядеть так:

    н = √(10 2 — (10 — 24) 2 /4) = √51 (см).

    Ответ. н = √51 см.

    Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямоугольная трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√»

    Свойства прямоугольной трапеции

    • У прямоугольной трапеци и два угла обязательно прямые
    • Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам
    • Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне
    • Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник
    • Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте
    • У прямоугольной трапеции основания параллельны , одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям
    • У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой

    Задача

    Решение .
    Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет

    Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
    S = ab

    Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора
    CK 2 + KD

    Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b
    Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка

    AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a — b.
    то есть
    12 2 + (a — b) 2 = (a + b) 2
    откуда
    144 + a 2 — 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
    144 = 4ab

    Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то
    144 = 4S
    S = 144 / 4 = 36

    Контрольные работы по геометрии в 8 классе (УМК А.Г. Мерзляк)
    материал по геометрии (8 класс)

    Репьева Марина Вениаминовна

    Представлены контрольные работы по геометрии в 8 классе (УМК А.Г.Мерзляк базовый уровень). Всего 7 конторльных работ, каждая из которых содержит 4 однотипных варианта. Предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая провести проверку знаний в любом классе.

    Скачать:

    Вложение Размер
    geometriya-8_k.r._bazovyy_uroven.docx 86.18 КБ

    Предварительный просмотр:

    Контрольная работа №1.

    Параллелограмм и его виды.

    1. Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма.
    2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АВ=10 см, BD=12 см. Найдите периметр треугольника COD.
    3. Один из углов ромба равен 64 0 . Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.
    4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки М и К так, что (точка М лежит между точками В и К). Докажите, что ВМ=DK.
    5. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, ВМ : МС = 4 : 3. Найдите периметр параллелограмма, если ВС=28 см.
    6. Через середину К гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке D, а другая – катет ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если АВ = 12 см.

    Контрольная работа №1.

    Параллелограмм и его виды.

    1. Одна из сторон параллелограмма на 7 см меньше другой, а его периметр равен 54 см. Найдите стороны параллелограмма.
    2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АС=24 см, BС=16 см. Найдите периметр треугольника АOD.
    3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 18 0 . Найдите углы ромба.
    4. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что (точка E лежит между точками A и F). Докажите, что ВE=DF.
    5. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке K, AK : KD = 3 : 2. Найдите периметр параллелограмма, если AB= 12 см.
    6. Через середину O гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке M, а другая – катет ВС в точке N. Найдите гипотенузу AB, если MN = 7 см.

    Контрольная работа №1.

    Параллелограмм и его виды.

    1. Одна из сторон параллелограмма в 6 раз больше другой, а его периметр равен 84 см. Найдите стороны параллелограмма.
    2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АD=18 см, BD=22 см. Найдите периметр треугольника BOC.
    3. Один из углов ромба равен 132 0 . Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.
    4. На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки N и P так, что (точка N лежит между точками A и P). Докажите, что ВN=DP.
    5. Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке F, AF : FD = 1 : 5. Найдите периметр параллелограмма, если AD = 18 см.
    6. Через середину P гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке F, а другая – катет ВС в точке K. Найдите отрезок FK, если АВ = 16 см.

    Контрольная работа №1.

    Параллелограмм и его виды .

    1. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его периметр равен 66 см. Найдите стороны параллелограмма.
    2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АС=20 см, CD=15 см. Найдите периметр треугольника АOB.
    3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 68 0 . Найдите углы ромба.
    4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки K и M так, что (точка K лежит между точками B и M). Докажите, что .
    5. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону CD в точке N, CN : ND = 5 : 4. Найдите периметр параллелограмма, если AD= 20 см.
    6. Через середину D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке E, а другая – катет ВС в точке F. Найдите гипотенузу AB, если EF = 9 см.

    Контрольная работа № 2

    Средняя линия треугольника. Трапеция.

    Вписанные и описанные четырёхугольники.

    1. Точки М и К- середины сторон АВ и АС треугольника АВС соответственно. Найдите периметр треугольника АМК, если АВ=12 см, ВС=8 см, АС=14 см.
    2. Одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. Найдите основания трапеции.
    3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 9 см и 16 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?
    4. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона – 6 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам.
    5. Найдите углы четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, если АСВ=36 0 , АВD=48 0 , ВАС= 85 0 .
    6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр- 30 см. Найдите боковую сторону трапеции.

    Контрольная работа № 2

    Средняя линия треугольника. Трапеция.

    Вписанные и описанные четырёхугольники

    1. Точки Е и F — середины сторон ВC и ВА треугольника АВС соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если ВЕ=10 см, ВF=16 см, EF=14 см.
    2. Одно из оснований трапеции в 2 раза больше другого, а её средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.
    3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 10 см и 14 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?
    4. .Меньшее основание равнобокой трапеции равно 4 см, а её боковая сторона – 5 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол трапеции пополам.
    5. Найдите углы четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, если АDВ=62 0 , АСD=54 0 , СВD= 27 0 .
    6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её боковая сторона равна 12 см, а периметр- 42 см. Найдите высоту трапеции.

    Контрольная работа № 2

    Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники.

    1.Точки А и В- середины сторон МN и МК треугольника MNK соответственно. Найдите периметр треугольника АМВ, если MN=14 см, MK=12 см, NK=20 см.

    2.Одно из оснований трапеции на 10 см меньше другого, а её средняя линия равна 13 см. Найдите основания трапеции.

    3.Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 7 см и 13 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?

    4.Найдите периметр равнобокой трапеции, если её основания равны 9 см и 14 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам.

    5.Найдите углы четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, если АВD=34 0 , ВDC=73 0 , СAD= 24 0 .

    6.Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 12 см, а ,боковая сторона- 15 см. Найдите периметр трапеции.

    Контрольная работа № 2

    Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники.

    1.Точки C и D- середины сторон FA и FN треугольника FAN соответственно. Найдите периметр треугольника FАN, если FC=20 см, FD=22 см, CD=10 см.

    2.Одно из оснований трапеции в 3 раза меньше другого, а её средняя линия равна 18 см. Найдите основания трапеции.

    3.Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 11 см и 19 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?

    4.Найдите периметр равнобокой трапеции, если её основания равны 12 см и 18 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам.

    5.Найдите углы четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, если АСВ=58 0 , ВD=16 0 , ВAС= 44 0 .

    6.Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её периметр равен 50 см, а ,боковая сторона- 14 см. Найдите высоту трапеции.

    Г-8 Контрольная работа № 3

    Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников.

    1. На рисунке

    MO ,OP=20см, PK=8см, MN=15 см. Найдите отрезок NK.

    1. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, причём сторонам АВ и АС соответствуют стороны А 1 В 1 и А 1 С 1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если АВ=12 см, АС= 18 см, А 1 С 1 =12 см, В 1 С 1 = 18 см.
    2. Отрезок ВМ- биссектриса треугольника АВС, АВ=30 см, АМ= 12 см, МС= 14 см, Найдите сторону ВС.
    3. На стороне АВ треугольника АВС, отметили точку D так, что AD:BD=5:3. Через точку D провели прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если АС= 16 см.
    4. В трапеции АВСD с основанием AD и ВС диагонали пересекаются в точке О ,ВС= 6 см, АD=14 см, а отрезок ВО на 2 см меньше отрезка OD. Найдите диагональ BD трапеции.
    5. Через точку А, находящуюся на расстоянии 5 см от центра окружности радиуса 11см, проведена хорда, которую точка А делит на отрезки, длины которых относятся как 2:3. Найдите длину этой хорды.

    Г-8 Контрольная работа № 3

    Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников.

    1. На рисунке

    EF ,AE=40см, AF=24см, FC=9 см. Найдите отрезок ED.

    1. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, причём сторонам АВ и BС соответствуют стороны А 1 В 1 и B 1 С 1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если ВC=22 см, АС= 14 см, B 1 С 1 =33 см, А 1 В 1 = 15 см.
    2. Отрезок АЕ- биссектриса треугольника АВС, АВ=32 см, АС= 16 см, СЕ= 6 см, Найдите отрезок ВЕ.
    3. На стороне АС треугольника АВС, отметили точку Е так, что AЕ:СЕ=2:7. Через точку Е провели прямую, которая параллельна стороне АВ треугольника и пересекает сторону ВС в точке F. Найдите сторону АВ, если EF= 21 см.
    4. В трапеции АВСD с основанием AD и ВС диагонали пересекаются в точке О ,АО=10 см, ОС=4 см, Найдите основания трапеции, если их сумма равна 42 см.
    5. Через точку В, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой B на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите радиус окружности, если точка В удалена от её центра на 5 см.

    Г-8 Контрольная работа № 3

    Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников

    Вариант 3

    1. На рисунке

    CF ,AE=6см, EF=14см, DC=35 см. Найдите отрезок AB.

    1. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, причём сторонам АC и BС соответствуют стороны А 1 C 1 и B 1 С 1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если АC=28 см, АB= 49 см, B 1 С 1 =24 см, A 1 С 1 = 16 см.
    2. Отрезок CK- биссектриса треугольника АВС, АC=45 см, АK= 18 см, BK= 10 см, Найдите сторону ВС.
    3. На стороне АВ треугольника АВС, отметили точку M так, что AM:MB=4:9. Через точку M провели прямую, которая параллельна стороне BС треугольника и пересекает сторону AС в точке K. Найдите отрезок MK, если BС= 26 см.
    4. В трапеции АВСD с основанием AD и ВС диагонали пересекаются в точке О ,ВO= 15 см, OD=18 см, основание ВС на 5 см меньше основания АD. Найдите основания трапеции.
    5. Через точку С, находящуюся на расстоянии 11 см от центра окружности радиуса 13см, проведена хорда, делящаяся точкой С делит на отрезки, длины которых относятся как 1:3. Найдите длину этой хорды.

    Г-8 Контрольная работа № 3

    Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников

    1. На рисунке

    TP ,KP=25см, PM=20см, KT=10 см. Найдите отрезок TS.

    1. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, причём сторонам АB и AС соответствуют стороны А1B1 и A 1 С 1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если АC=9 см, BC= 27 см, B 1 С 1 =36 см, A1B1= 28 см.
    2. Отрезок BD- биссектриса треугольника АВС, АB=48 см, BC= 32 см, AD= 36 см, Найдите отрезок СD.
    3. На стороне ВС треугольника АВС, отметили точку P так, что BP:PC=5:6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AС треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону АС, если PN= 15 см.
    4. В трапеции АВСD с основанием AD и ВС диагонали пересекаются в точке О ,AO= 24 см, OC=16 см, а отрезок OD на 9 см больше отрезка ВО. Найдите диагональ BD трапеции.
    5. Через точку D, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой D на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите расстояние от точки D до центра окружности, если радиус окружности равен 4 см..

    Контрольная работа № 4

    Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

    1. Катет прямоугольного треугольника равен 10 см, а его проекция на гипотенузу- 8 см. Найдите гипотенузу треугольника.
    2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 20 см и 21 см. Найдите периметр треугольника.
    3. Сторона ромба равна 3 см, а одна из диагоналей- 12 см. Найдите диагональ ромба.
    4. Основания равнобокой трапеции равны 33 и 51 см , а её диагональ – 58 см. Найдите боковую сторону трапеции.
    5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 11 см и 16 см. Найдите проекции данных наклонных, если одна из проекций на 9 см меньше другой.
    6. Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 18 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

    Контрольная работа № 4

    Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

    1. Катет прямоугольного треугольника равен 16 см, а гипотенуза- 20 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.
    2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 41 см, а один из катетов- 9 см. Найдите периметр треугольника.
    3. Диагонали ромба равны 16 см и 8 см. Найдите сторону ромба.
    4. Основания равнобокой трапеции равны 21 и 11 см , а боковая сторона равна 13 см. Найдите диагональ трапеции.
    5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 15 см и 6 см. Найдите данные наклонные, если одна из них на 7 см больше другой.
    6. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

    Контрольная работа № 4

    Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

    1. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу- 10 см. Найдите гипотенузу треугольника.
    2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.
    3. Сторона ромба равна см, а одна из диагоналей-6 см. Найдите вторую диагональ ромба.
    4. Основания равнобокой трапеции равны 6 см и 34 см, а диагональ-52 см. Найдите боковую сторону трапеции.
    5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 25 см и 17 см. Найдите проекции данных наклонных, если их длины относятся как 5:2.
    6. Найдите диагональ равнобокой трапеции, основания которой равны 20 см и 12 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

    Контрольная работа № 4

    Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

    1. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза- 9 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.
    2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 37 см , а один из катетов 35 см. Найдите периметр треугольника.
    3. Диагонали ромба равны см и 20 см. Найдите сторону ромба.
    4. Основания равнобокой трапеции равны 18 см и 30 см, а её боковая сторона -2 см. Найдите диагональ трапеции.
    5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 12 см и 30 см. Найдите данные наклонные, если их длины относятся как 10:17.
    6. Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

    Контрольная работа № 5

    Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

    1. В треугольнике АВС =90 0 , АВ= 13 см, АС= 5 см. Найдите: 1) ;2)tg А.
    2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника

    АВС ( =90 0 ), если ВС = 6 см, cos B= .

    1. Найдите значение выражения sin 2 37 0 + cos 2 37 0 -sin 2 45 0
    2. В равнобокой трапеции АВСD АВ=СD = 6 см, ВС=8 см, АD=12 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции.
    3. Высота ВD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки АD и CD, если АВ = 2√3 см, ВС=7 см, =60 0
    4. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

    Контрольная работа № 5

    Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

    1. В треугольнике АВС =90 0 , АС= 17 см, ВС= 8 см. Найдите: 1)cos C;2)ctg А.
    2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника

    МNK =90 0 ), если MN = 10 см, sin K= .

    1. Найдите значение выражения cos 2 45 0 + sin 2 74 0 +cos 2 74 0
    2. В прямоугольной трапеции АВСД (ВС АD, =90 0 ), АВ=4 см, ВС=7 см, АD=9 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла D трапеции.
    3. Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK.Найдите сторону MN, если FK = 6√3 см, MF=8 см, =30 0
    4. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между диагональю и высотой трапеции равен Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.

    Контрольная работа № 5

    Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

    1. В треугольнике АВС =90 0 , АВ= 26 см, BС= 10 см. Найдите: 1) ;2)tg B.
    2. Найдите катет ВС прямоугольного треугольника

    АВС =90 0 , если АС = 12 см, cos С= .

    1. Найдите значение выражения sin 2 61 0 + cos 2 61 0 -cos 2 60 0 .
    2. В равнобокой трапеции FKPE FK=EP = 9 см, EF=20 см, KP=8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F трапеции.
    3. Высота AM треугольника АВС делит его сторону BС на отрезки BM и MC. Найдите отрезок МС, если АВ = 10√2 см, АС=26 см, =45 0
    4. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между большим основанием и боковой стороной равен Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

    Контрольная работа № 5

    Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

    1. В треугольнике АВС =90 0 , BС= 25 см, АС= 15 см. Найдите: 1)cos C;2)ctg В.
    2. Найдите катет ВС прямоугольного треугольника

    АВС =90 0 , если АС = 8 см, tg A= .

    1. Найдите значение выражения cos 2 42 0 + sin 2 42 0 +sin 2 30 0
    2. В прямоугольной трапеции KDMT (DM KT, =90 0 ), DM=6 см, KT=21 см, MT=20 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла T трапеции.
    3. Высота NF треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE.Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP=17 см, =60 0
    4. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и высотой трапеции равен Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.

    Контрольная работа № 6

    Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника.

    1. Чему равна сумма углов выпуклого 12 –угольника?
    2. Площадь параллелограмма равна 144 см 2 , а одна из его высот- 16 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
    3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов – 12 см.
    4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей – 28 см.
    5. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12 см, а острый угол – 45 0 .

    Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

    1. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Найдите площадь треугольника.

    Контрольная работа № 6

    Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника.

    1. Чему равна сумма углов выпуклого 17 –угольника?
    2. Площадь параллелограмма равна 104 см 2 , а одна из его сторон- 13 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
    3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 30 см, а боковая сторона – 17 см.
    4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей – 6 см.
    5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а острый угол – 60 0 .Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
    6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите площадь треугольника.

    Контрольная работа № 6

    Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника.

    1. Чему равна сумма углов выпуклого 22 –угольника?
    2. Площадь параллелограмма равна 112 см 2 , а одна из его высот- 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.
    3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а один из катетов – 10 см.
    4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 70 см.
    5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол – 60 0 .

    Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

    1. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.

    Контрольная работа № 6

    Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника.

    1. Чему равна сумма углов выпуклого двадцати семиугольника?
    2. Площадь параллелограмма равна 108 см 2 , а одна из его сторон- 18 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.
    3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, высота которого, проведённая к основанию, равна 12 см, а боковая сторона –37 см.
    4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 17 см, а разность диагоналей – 14 см.
    5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а острый угол – 30 0 .Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
    6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника.

    Контрольная работа № 7

    Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса.

    1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 46 0 больше другого.
    2. Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке К. Меньшее основание ВС равно 4 см, АВ= 6 см, ВК= 3 см. Найдите большее основание трапеции.
    3. Высота ВD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4 см, CD= 3 см, АВD=30 0 .
    4. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.
    5. Из точки В окружности опущен перпендикуляр ВМ на её диаметр АС, АВ= 4 см. Найдите радиус окружности, если отрезок АМ на 4 см меньше отрезка СМ.

    Контрольная работа № 7

    Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса.

    1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 18 0 меньше другого.
    2. Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке М. Большее основание АD равно 20 см, МD = 10 см, СD= 8 см. Найдите меньшее основание трапеции.
    3. Высота EK треугольника DEF делит его сторону DF на отрезки DK и KF. Найдите сторону DE, если EF = см, KF= 2 см, D=45 0 .
    4. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.
    5. Из точки Е окружности опущен перпендикуляр ЕК на её диаметр DF, DE= 2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок KF на 6 см больше отрезка DK.

    Контрольная работа № 7

    Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса .

    1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 54 0 больше другого.
    2. Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке P. Меньшее основание ВС равно 8 см, PC= 7 см, CD= 21 см. Найдите большее основание трапеции.
    3. Высота KP треугольника MNK делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите сторону KN, если MP= 4 см, PN= 3 см, =60 0 .
    4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.
    5. Из точки М окружности опущен перпендикуляр MF на её диаметр DE, DM= 2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок DF на 8 см меньше отрезка FE

    Контрольная работа № 7

    Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса.

    1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 36 0 меньше другого.
    2. Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке F. Большее основание AD равно 32 см, AF= 16 см, AB= 12 см. Найдите меньшее основание трапеции.
    3. Высота СМ треугольника АВС делит его сторону АВ на отрезки АM и ВМ. Найдите сторону ВС, если АM= 15 см, ВМ= 5 см, =30 0 .
    4. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.
    5. Из точки С окружности опущен перпендикуляр СD на её диаметр АВ, АС= 6 см. Найдите радиус окружности, если отрезок АD на 10 см меньше отрезка ВD.

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Контрольные работы по геометрии 8 класс

    Готовые контрольные работы для проверки знаний и умений учащихся по геометрии 8 класс по учебнику Атанасяна.

    Контрольные работы по геометрии 7 класс

    Мною оформлены контрольные работы по геометрии для учащихся 7 класса, занимающихся по учебнику Л.С.Атанасяна.Использовала пособие для учителей общеобразовательных учреждений «Изучение геометрии .

    Подготовка к ЕГЭ. Контрольная работа по геометрии, 11 класс.

    Итоговое повторение. Контрольная работа по геометрии на 6 вариантов, составленная по материалам «Открытого банка заданий по математике» http://mathege.ru.

    Контрольная работа по геометрии 8 класс Учебник А.Г.Мерзляк «Геометрия 8 класс»

    Это первая контрольная работа по теме «Параллелограм и его виды».

    Контрольная работа по геометрии 8 класс Учебник А.Г.Мерзляк «Геометрия 8 класс»

    Первая контрольная работа по теме «Параллелограм и его виды».

    Административная контрольная работа по геометрии 7 класс за 1 полугодие. по Мерзляк

    Контрольная работа состоит из двух вариантов в соответствии с программой 7 класса по геометрии.

    Контрольные работы по геометрии 8 класса (к УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир)

    Материал содержит тексты семи контрольных работ за весь курс геометрии 8 класса в двух вариантах.

    Источники:

    https://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/trapeciya-ehto-svojstva-vidy-ravnobedrennaya-pryamougolnaya.html
    https://mosgorsait.ru/works/ostryi-ugol-v-trapecii-zapominaem-i-primenyaem-svoistva-trapecii/
    https://uchim.guru/matematika/pryamougolnaya-i-ravnobedrennaya-trapetsiya.html
    https://orangezaem.ru/dolzhnostnye-instrukcii/kak-naiti-kosinus-ugla-v-trapecii-pryamougolnaya-trapeciya/
    https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2020/11/13/kontrolnye-raboty-po-geometrii-v-8-klasse-umk-a-g-merzlyak

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    Adblock
    detector