Как найти длину треугольника

    Как найти периметр треугольника если известны не все стороны

    Периметр — это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

    В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

    Возможные методы:

    • известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
    • как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
    • известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

    Это интересно: что микроэкономика изучает, кратко об основателях и основах науки.

    Первый метод: известны все стороны фигуры

    Площадь треугольника

    Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани, необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c — известные длины всех сторон треугольника, P — периметр фигуры.

    Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

    Данная формула подходит к любому треугольнику, необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.

    Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

    Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.

    Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

    Теорема Пифагора

    В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

    Теорема Пифагора описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

    Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b — катеты фигуры, а c — гипотенуза.

    • Гипотенуза. Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
    • Катеты — это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

    Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

    Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется «Египетский треугольник». Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

    Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 — a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.

    Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

    Третий метод: по двум граням и углу между ними

    В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

    Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c — стандартно длины граней, а A,B и С — это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A — угол, противолежащий стороне a и так далее.

    Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

    Все, что нужно сделать в данном случае — это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень — это будет третья, неизвестная до этого сторона.

    После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

    Совет 1: Как обнаружить углы, когда знамениты длины сторон треугольника

    Величины углов, лежащих в вершинах треугольника , и длины сторон, образующих эти вершины, связаны между собой определенными соотношениями. Эти отношения выражаются почаще каждого через тригонометрические функции – в основном, через синус и косинус. Умения длин всех сторон фигуры довольно, дабы с применением этих функций восстановить величины всех 3 углов.

    Как обнаружить углы, когда вестимы длины сторон треугольника

    Инструкция

    1. Для вычисления величины всякого из углов произвольного треугольника используйте теорему косинусов. Она гласит, что квадрат длины всякий стороны (скажем, A) равен сумме квадратов длин 2-х других сторон (B и C), из которой вычтено произведение их же длин на косинус угла (?), лежащего в образуемой ими вершине. Это значит, что вы можете выразить косинус через длины сторон: cos(?) = (B?+C?-A?)/(2*A*B). Дабы получить величину этого угла в градусах, к полученному выражению примените обратную косинусу функцию – арккосинус: ? = arccos((B?+C?-A?)/(2*A*B)). Таким методом вы вычислите величину одного из углов – в данном случае того, тот, что лежит наоборот стороны А.

    2. Для вычисления 2-х оставшихся углов дозволено применять ту же формулу, меняя в ней местами длины знаменитых сторон. Но больше примитивное выражение с меньшим числом математических операций дозволено получить, задействовав иной постулат из области тригонометрии – теорему синусов. Она заявляет, что отношение длины всякий стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равны. Это значит, что вы можете выразить, скажем, синус угла ?, лежащего наоборот стороны B через длину стороны C и теснее рассчитанного угла ?. Умножьте длину B на синус ?, а итог поделите на длину C: sin(?) = B*sin(?)/C. Величину этого угла в градусах, как и в предыдущем шаге, рассчитайте с применением обратной тригонометрической функции – на данный раз арксинуса: ? = arcsin(B*sin(?)/C).

    3. Величину оставшегося угла (?) дозволено вычислить по всякий из полученных в предыдущих шагах формул, поменяв в них местами длины сторон. Но проще задействовать еще одну теорему – о сумме углов в треугольнике. Она заявляет, что эта сумма неизменно равна 180°. Потому что два из 3 углов вам теснее вестимы, легко отнимите от 180° их величины, дабы получить величину третьего: ? = 180°-?-?.

    Совет 2: Как обнаружить длину треугольника

    Треугольник – это примитивный многоугольник, имеющий 3 стороны и три угла. У всякого треугольника дозволено обнаружить длину . Сделать это не сложно. С таким заданием совладает даже учащийся исходной школы.

    Как обнаружить длину треугольника

    Вам понадобится

    • Линейка, ручка, калькулятор.

    Инструкция

    1. Длина треугольника – это сумма длин его сторон. Она именуется периметром. Самый легкой метод его обнаружить – взять нить и приложить её ко каждом сторонам этой геометрической фигуры. После этого с подмогой линейки измерить длину получившейся нити. “Минус” этого метода состоит в том, что итог измерения может быть неточным. Школьнику не неизменно получается приложить нить к сторонам треугольника как дозволено вернее.

    2. Дабы обнаружить точный периметр, нужно измерить длину всякой стороны треугольника с поддержкой линейки, а после этого сложить полученные итоги. Скажем, a = 5 см, b = 7 см, с = 2 см (a, b, с – стороны треугольника)5 + 7 + 2 = 14 см – длина данного треугольника.

    3. Если треугольник равнобедренный, довольно измерить длину его основания и сложить полученное значение с длиной иной стороны, умноженной на два, т.к сторон, прилегающих к основанию, две.Скажем, a = 5 см, b = 7 см, с = 7 см (a, b, с – стороны треугольника)5 + 7 * 2 = 19 см – длина данного треугольника.

    4. Дабы определить периметр равностороннего треугольника, довольно измерить длину одной из его сторон и умножить полученный итог на три, т.к. эта геометрическая фигура имеет три идентичных стороны.Скажем, a = 5 см, b = 5 см, с = 5 см (a, b, с – стороны треугольника).5 * 3 = 15 см – длина данного треугольника.

    Видео по теме

    Полезный совет
    Учите ребенка прикладывать линейку к началу стороны верно “нулевой отметкой”.Не забывайте о том, в каких величинах вы измерили длину треугольника

    Совет 3: Как обнаружить длину функции

    Под длиной функции либо областью ее определения понимают уйма всех значений переменной, при которых функция имеет толк. Определение длины функции подразумевает поиск именно таких величин.

    Как обнаружить длину функции

    Вам понадобится

    • – математический справочник.

    Инструкция

    1. Разглядите функцию на предмет присутствия в ней специфических членов – дроби, корня, логарифма и т.д. Всякий из таких элементов наведет вас на мысль, где следует искать область определения функции, а в какой части ее дозволено исключить.

    2. Если в выражении функции присутствует дробь, то ее знаменатель не должен быть равен нулю, чай на нуль разделять невозможно. В этом случае приравняйте знаменатель с переменной к этой величине, позже чего исключите значения переменной, при которой функция не имеет смысла.

    3. Если в выражении функции имеется корень четной степени, то исключите из области ее определения негативные числа.

    4. Если в выражении функции присутствует логарифм, то область ее определения должна быть огромнее нуля. Дабы исключить из значений переменной величины, при которых функция не имеет толк, решите неравенство, в котором выражение под логарифмом будет поменьше нуля.

    5. Определите другие данные, при которых функция не имеет смысла. Исходя из этого, составьте равенство либо неравенство, где в левой части будет присутствовать переменная, а в правой условие рациональности функции. Решите его, и вы получите значения функции, которые следует исключить.

    6. Составьте область определения функции с учетом исключенных значений.

    Видео по теме

    Обратите внимание!
    Имеет толк составить некую систему, в которую войдут все равенства и неравенства для специфичных членов выражения. Решение сходственной системы дозволит в полной мере и особенно верно обнаружить область определения определенной функции.

    Полезный совет
    В выражении функции могут присутствовать самые различные члены, скомпонованные друг с ином. Скажем, логарифм под корнем либо в дроби. В таких случаях необходимо исключать значения, при которых функция не имеет смысла поэтапно, т.е. рассматривать область определения всякого члена в отдельности, после этого сгруппированного члена выражения, а потом теснее каждой функции.

    Совет 4: Как обнаружить внешний угол треугольника

    Внешний угол треугольника является смежным внутреннему углу фигуры. В сумме эти углы при всей из вершин треугольника составляют 180° и представляют развернутый угол.

    Как обнаружить внешний угол треугольника

    Инструкция

    1. Из наименования видимо, что внешний угол лежит за пределами треугольника. Дабы представить себе внешний угол, продлите сторону фигуры за вершину. Угол между продолжением стороны и 2-й стороной треугольника, выходящей из этой вершины, и будет внешним для угла треугольника при данной вершине.

    2. Видимо, что острому углу треугольника соответствует тупой внешний угол. Для тупого угла внешний угол — острый, а внешний угол прямого угла — прямой. Два угла с всеобщей стороной и сторонами, принадлежащими одной прямой, являются смежными и в сумме составляют 180°. Если угол треугольника ? вестим по условию, то смежный с ним внешний угол ? определяется так:?=180°-?.

    3. Если угол ? не задан, но вестимы другие два угла треугольника, то их сумма равна величине угла, внешнего по отношению к углу ?. Это заявление следует из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°. В треугольнике внешний угол огромнее внутреннего угла, не смежного с ним.

    4. Если градусная мера угла треугольника не задана, но из соотношения сторон вестимы тригонометрические зависимости, то по этим данным также дозволено обнаружить внешний угол:Sin? = Sin (180°-?)Cos? = -Cos (180°-?)tg? =- tg (180°-?).

    5. Внешний угол треугольника дозволено определить, если не задан ни один внутренний угол, а вестимы только стороны фигуры. Из связей между элементами треугольника определите одну из тригонометрических функций внутреннего угла. Вычислите соответствующую функцию желанного внешнего угла и по тригонометрическим таблицам Брадиса обнаружьте его величину в градусах. Скажем, из формулы площади S=(b*c*Sin?)/2 определите Sin?, а после этого внутренний и внешний угол в градусной мере. Либо определите Cos? из теоремы косинусов a?=b?+c?-2bc*Cos?.

    Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника

    Треугольник

    Геометрия

    Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

    Определение треугольника

    Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

    Посмотрите на треугольник на рисунке.

    треугольник АВС

    У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

    Треугольник MNK

    будут звать ([эм-эн-ка]).

    По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

    В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

    Высота треугольника

    В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

    Например, в треугольнике , высотой будет отрезок .

    высота AH в треугольнике

    А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

    Высоты в треугольнике

    В этом треугольнике три высоты , , .

    Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

    Виды треугольника

    Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

    Виды треугольников по углам

    В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный , треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

    Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

    Остроугольный треугольник

    Тупоугольный треугольник

    прямоугольный треугольник

    Виды треугольников по сторонам

    Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

    На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

    равносторонний треугольник

    Равнобедренный треугольник

    Свойства сторон треугольника

    Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

    Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

    Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

    Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть: .

    Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон , а см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

    Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

    , или .

    Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

    Правило существования треугольника

    Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

    Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

    Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

    Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10<15, то есть треугольник не получится.

    А вот такие длины сторон 5 см, 7 см и 6 см вполне могут образовать треугольник: складываем 5+6=11 и 11>7 — треугольник с такими длинами сторон существует.

    Свойство углов в треугольнике

    Сумма всех углов в треугольнике равна .

    Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна .

    Например, пусть известно, что в треугольнике , , , нужно найти .

    Углы в треугольнике

    Так как сумма углов в треугольнике равна , то находим:

    .

    Ответ: .

    Элементы композиции

    Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

    трапеция из треугольников

    А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

    Фигура из треугольников

    Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

    Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

    Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю, дизайнеру.

    Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.

    Классическая формула

    Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

    Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

    Как найти периметр треугольника

    Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

    Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

    Альтернативный вариант

    В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

    .

    Далее рассчитывайте Р по такой формуле:

    .

    Периметр по двум сторонам

    Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

    Равнобедренный треугольник

    Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольнике является наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

    • биссектриса вершинного угла;
    • медиана к основанию;
    • высота треугольника;
    • срединный перпендикуляр.

    Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

    В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

    В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

    Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

    Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

    Полезное видео: задачи на периметр труегольника

    Треугольник прямоугольный

    Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

    В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    .

    На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

    .

    Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

    .

    Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

    .

    Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:

    .

    Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

    Расчет через высоту

    Рассчитать периметр таких категорий, как равнобедренные и прямоугольные треугольники, можно через показатель их средней линии. Как известно, высота треугольника разделяет его основание пополам. Таким образом, она образует две прямоугольных фигуры. Далее, нужный показатель вычисляется при помощи теоремы Пифагора. Формула будет иметь следующий вид:

    .

    Если известна высота и половина основания, используя этот способ, вы получите нужное число без поиска остальных данных о фигуре.

    Как научиться решать задачи по аналитической геометрии?
    Типовая задача с треугольником на плоскости

    Этот урок создан на подходе к экватору между геометрией плоскости и геометрией пространства. В данный момент назрела необходимость систематизировать наработанную информацию и ответить на очень важный вопрос: как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Трудность состоит в том, что задач по геометрии можно придумать бесконечно много, и никакой учебник не вместит в себя всё множество и разнообразие примеров. Это не производная функции с пятью правилами дифференцирования, таблицей и несколькими техническими приёмами….

    Решение есть! Не буду говорить громких слов о том, что я разработал какую-то грандиозную методику, однако, по моему мнению, существует эффективный подход к рассматриваемой проблеме, позволяющий достигнуть хорошей и отличной результативности даже полному чайнику. По крайне мере, общий алгоритм решения геометрических задач очень чётко оформился в моей голове.

    ЧТО НЕОБХОДИМО знать и уметь
    для успешного решения задач по геометрии?

    От этого никуда не деться – чтобы наугад не тыкать носом кнопки, требуется освоить азы аналитической геометрии. Поэтому если вы только-только приступили к изучению геометрии или капитально позабыли её, пожалуйста, начните с урока Векторы для чайников. Кроме векторов и действий с ними, нужно знать базовые понятия геометрии плоскости, в частности, уравнение прямой на плоскости и простейшие задачи с прямой на плоскости. Геометрия пространства представлена статьями Уравнение плоскости, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость и некоторыми другими уроками. Кривые линии и пространственные поверхности второго порядка стоЯт некоторым особняком, и специфических задач с ними не так уж много.

    Предположим, студент уже обладает элементарными знаниями и навыками решения простейших задач аналитической геометрии. Но вот бывает же так: читаешь условие задачи, и… хочется вообще закрыть всё это дело, закинуть в дальний угол и забыть, как о страшном сне. Причём это принципиально не зависит от уровня вашей квалификации, сам время от времени сталкиваюсь с заданиями, у которых решение не очевидно. Как поступать в таких случаях? Не нужно бояться задачи, которая вам не понятна!

    Во-первых, следует установить – это «плоская» или пространственная задача? Например, если в условии фигурируют векторы с двумя координатами, то, понятно, тут геометрия плоскости. А если преподаватель загрузил благодарного слушателя пирамидой, то здесь явно геометрия пространства. Результаты первого шага уже неплохи, ведь удалось отсечь громадное количество ненужной для данной задачи информации!

    Второе. Условие, как правило, озаботит вас некоторой геометрической фигурой. Действительно, пройдитесь по коридорам родного ВУЗа, и вы увидите очень много озабоченных лиц.

    В «плоских» задачах, не говоря о разумеющихся точках и прямых, наиболее популярная фигура – треугольник. Его мы разберём очень подробно. Далее идёт параллелограмм, и значительно реже встречаются прямоугольник, квадрат, ромб, окружность, др. фигуры.

    В пространственных задачах могут летать те же плоские фигуры + сами плоскости и распространённые треугольные пирамиды с параллелепипедами.

    Вопрос второй – всё ли вы знаете о данной фигуре? Предположим, в условии идёт речь о равнобедренном треугольнике, а вы весьма смутно помните, что это такой за треугольник. Открываем школьный учебник и читаем про равнобедренный треугольник. Что делать… врач сказал ромб, значит, ромб. Аналитическая геометрия аналитической геометрией, но задачу помогут решить геометрические свойства самих фигур, известные нам из школьной программы. Если не знать, чему равна сумма углов треугольника, то мучиться можно долго.

    Третье. ВСЕГДА старайтесь выполнять чертёж (на черновике/чистовике/мысленно), даже если этого не требуется по условию. В «плоских» задачах сам Евклид велел взять в руки линейку с карандашом – и не только для того, чтобы понять условие, но и в целях самопроверки. При этом наиболее удобный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки). Уж не будем рассуждать о нерадивых студентах и вращающихся в гробах математиках – в таких задачах совершить ошибку практически невозможно. Для пространственных заданий выполняем схематический рисунок, который тоже поможет проанализировать условие.

    Чертёж или схематический чертёж зачастую сразу позволяет увидеть путь решения задачи. Конечно, для этого нужно знать фундамент геометрии и рубить в свойствах геометрических фигур (см. предыдущий пункт).

    Четвёртое. Разработка алгоритма решения. Многие задачи геометрии являются многоходовыми, поэтому решение и его оформление очень удобно разбивать на пункты. Нередко алгоритм сразу же приходит в голову, после того как вы прочитали условие или выполнили чертёж. В случае возникновения трудностей начинаем с ВОПРОСА задачи. Например, по условию «требуется построить прямую…». Здесь самый логичный вопрос такой: «А что достаточно знать, чтобы построить данную прямую?». Предположим, «точка нам известна, нужно знать направляющий вектор». Задаём следующий вопрос: «Как найти этот направляющий вектор? Откуда?» и т.д.

    Иногда случается «затык» – не решается задача и всё тут. Причины стопора могут быть следующими:

    – Серьёзный пробел в элементарных знаниях. Иными словами, вы не знаете или (и) не видите какой-то очень простой вещи.

    – Незнание свойств геометрических фигур.

    – Задача попалась трудная. Да, так бывает. Нет смысла часами париться и собирать слёзки в платочек. Обратитесь за консультацией к преподавателю, сокурсникам или задайте вопрос на форуме. Причём, его постановку лучше сделать конкретной – о том участке решения, который вам не понятен. Клич в виде «Как решить задачу?» выглядит не очень-то… и, прежде всего, для вашей собственной репутации.

    Этап пятый. Решаем-проверяем, решаем-проверяем, решаем-проверяем-даём ответ. Каждый пункт задачи выгодно проверять сразу после его выполнения. Это поможет немедленно обнаружить ошибку. Естественно, никто не запрещает быстренько прорешать задачу целиком, но возникает риск переписывать всё заново (часто несколько страниц).

    Вот, пожалуй, все основные соображения, которыми целесообразно руководствоваться при решении задач.

    Практическая часть урока представлена геометрией на плоскости. Примеров будет всего два, но мало не покажется =)

    Пройдёмся по нити алгоритма, который я только что рассмотрел в своём маленьком научном труде:

    Даны три вершины параллелограмма . Найти вершину .

    Шаг первый: очевидно, что речь идёт о «плоской» задаче.

    Шаг второй: в задаче речь идёт о параллелограмме. Все помнят такую фигуру параллелограмм? Не нужно улыбаться, немало людей получает образование в 30-40-50 и более лет, поэтому даже простые факты могут стереться из памяти. Определение параллелограмма встречается в Примере № 3 урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

    Параллелограмм на плоскости

    Шаг третий: Выполним чертёж, на котором отметим три известные вершины. Забавно, что несложно сразу построить искомую точку :

    Построить, это, конечно, хорошо, но решение необходимо оформить аналитически.

    Шаг четвёртый: Разработка алгоритма решения. Первое, что приходит в голову – точку можно найти как пересечение прямых . Их уравнения нам неизвестны, поэтому придётся заняться этим вопросом:

    1) Противоположные стороны параллельны. По точкам найдём направляющий вектор данных сторон . Это простейшая задача, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников.

    Примечание: корректнее говорить «уравнение прямой, содержащей сторону», но здесь и далее для краткости я буду использовать словосочетания «уравнение стороны», «направляющий вектор стороны» и т.д.

    2) Составим уравнение прямой по известной точке и найденному направляющему вектору (см. статью Уравнение прямой на плоскости)

    3) Противоположные стороны параллельны. По точкам найдём направляющий вектор этих сторон .

    4) Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору

    В пунктах 1-2 и 3-4 мы фактически дважды решили одну и ту же задачу, она, кстати, разобрана в примере № 3 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Можно было пойти более длинным путём – сначала найти уравнения прямых и только потом «вытащить» из них направляющие векторы .

    5) Теперь уравнения прямых известны. Осталось составить и решить соответствующую систему линейных уравнений (см. примеры № 4, 5 того же урока Простейшие задачи с прямой на плоскости).

    Задача довольно таки простая и её решение очевидно, но существует более короткий путь!

    Второй способ решения:

    Диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам. Точку я отметил, но чтобы не загромождать чертёж сами диагонали не провёл.

    1) С помощью формул координат середины отрезка найдём точку – середину диагонали .

    2) Рассмотрим диагональ . Из условия известна вершина «бэ», из предыдущего пункта найдена середина . Используя те же формулы координат середины отрезка, находим вершину .

    Хорошее знание свойств параллелограмма позволило значительно сократить решение!

    Желающие могут прорешать задачу. Всё перед глазами, все ссылки, комментарии даны. И, конечно, не забывайте про важный технический приём – решили пункт задания и сразу же его проверили (аналитически или по чертежу).

    Переходим к наиболее распространённой задаче, которая встречается практически в каждом сборнике, в каждой методичке:

    Типовая задача с треугольником на плоскости

    Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на… доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия подкрадывается к треугольнику совсем с другой стороны.

    Типовая задача с треугольником на плоскости, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше.

    Даны вершины треугольника . Требуется:

    1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
    2) найти длину стороны ;
    3) найти ;
    4) составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
    5) составить уравнение высоты и найти её длину;
    6) вычислить площадь треугольника ;
    7) составить уравнение медианы ;
    8) найти точку пересечения .

    Знаете, прямо почувствовал себя палачом с большим топором. Чтобы не было так стыдно, скажу, что на практике в большинстве случаев пунктов бывает меньше. Просто я постарался собрать в одной задаче всё, что может встретиться. Для особо опасных энтузиастов заготовлена виселица ещё тройка пунктов, но это на закуску.

    …бррр, что-то у меня сегодня траурная тема пошла, не иначе, от убыли светового дня. Поэтому скорее перехожу к решению.

    Треугольник на плоскости

    Решение: С чего начать? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и самопроверки всегда строим чертёж на черновике.

    Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки).

    Поехали щёлкать орехи:

    1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые коэффициенты.

    Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум точкам. Процесс подробно рассмотрен на уроке Уравнение прямой на плоскости.

    Составим уравнение стороны по точкам :

    Для проверки следует мысленно либо на черновике подставить координаты каждой точки в полученное уравнение. Теперь найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:

    Таким образом, угловой коэффициент:

    Аналогично находим уравнения сторон . Не вижу особого смысла расписывать то же самое, поэтому сразу приведу готовый результат:

    2) Найдём длину стороны . Это простейшая задача, рассмотренная на уроке Векторы для чайников. Для точек используем формулу:

    По этой же формуле легко найти и длины других сторон. Проверка очень быстро выполнятся обычной линейкой.

    3) Найдём . Это угол при вершине . Есть несколько способов решения, но самый универсальный способ – находить угол при вершине, как угол между векторами. Данная задача подробно рассмотрена на уроке Скалярное произведение векторов.

    Угол треугольника

    Кстати, попутно мы нашли длины сторон .

    Ну что же, похоже на правду, для убедительности к углу можно приложить транспортир.

    Внимание! Не путайте угол треугольника с углом между прямыми. Угол треугольника может быть тупым, а угол между прямыми – нет (см. последний параграф статьи Простейшие задачи с прямой на плоскости). Однако для нахождения угла треугольника можно использовать и формулы вышеуказанного урока, но шероховатость состоит в том, что те формулы всегда дают острый угол. С их помощью я прорешал на черновике данную задачу и получил результат . А на чистовике пришлось бы записывать дополнительные оправдания, что .

    4) Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой .

    Стандартная задача, подробно рассмотренная в примере № 2 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор . Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

    Как в треугольнике провести прямую, параллельную данной стороне

    Как найти высоту треугольника?

    5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.

    От строгих определений никуда не деться, поэтому придётся приворовывать из школьного учебника:

    Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

    То есть, необходимо составить уравнение перпендикуляра, проведённого из вершины к стороне . Данная задача рассмотрена в примерах № 6, 7 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Из уравнения снимаем вектор нормали . Уравнение высоты составим по точке и направляющему вектору :

    Как составить уравнение высоты треугольника?

    Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.

    Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты составим по точке и угловому коэффициенту (см. начало урока Уравнение прямой на плоскости):

    Длину высоты можно найти двумя способами.

    Существует окольный путь:

    а) находим – точку пересечения высоты и стороны ;
    б) находим длину отрезка по двум известным точкам.

    Но на уроке Простейшие задачи с прямой на плоскости рассматривалась удобная формула расстояния от точки до прямой. Точка известна: , уравнение прямой тоже известно: , Таким образом:

    6) Вычислим площадь треугольника. В пространстве площадь треугольника традиционно рассчитывается с помощью векторного произведения векторов, но здесь дан треугольник на плоскости. Используем школьную формулу:
    – площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

    В данном случае:

    Как найти медиану треугольника?

    7) Составим уравнение медианы .

    Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

    а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка. Известны координаты концов отрезка: , тогда координаты середины:

    Как составить уравнение медианы треугольника?

    Таким образом:

    Уравнение медианы составим по точкам :

    Чтобы проверить уравнение, в него нужно подставить координаты точек .

    8) Найдём точку пересечения высоты и медианы. Думаю, этот элемент фигурного катания все уже научились выполнять без падений:

    Как найти точку пересечения медианы и высоты треугольника?

    Любители строгого оформления могут записать сакраментальное слово «Ответ» и скрупулезно перечислить в 8 пунктах полученные результаты.

    А сейчас рассмотрим более редкие задания. Треугольник тот же.

    9) найти уравнение биссектрисы ;
    10) найти центр тяжести треугольника;
    11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

    Как найти уравнение биссектрисы треугольника?

    9) Биссектриса – это луч, который делит угол пополам. Рассмотрим два способа решения этого пункта.

    Как составить уравнение биссектрисы треугольника?

    Способ первый. Чтобы были более понятны последующие выкладки, я сразу приведу готовый чертёж с результатом:

    Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:

    Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .

    Таким образом: . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да, параметр «лямбда» получился просто сказочным, а кому сейчас легко?

    На последнем шаге я провёл умножение числителя и знаменателя на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу и избавиться от иррациональности в знаменателе.

    Разбираемся со второй координатой:

    Предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам :

    Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)

    И, кроме того, один из читателей сайта предложил ещё один, более короткий путь!

    Способ второй. Рассмотрим произвольную точку биссектрисы, отличную от вершины и найдём векторы:

    (именно такие! – не противоположные!), а также вектор .

    Запишем скалярное произведение:
    , но с другой стороны, по определению скалярного произведения:
    Таким образом, получаем уравнение

    Запишем скалярное произведение . И с другой стороны: . Таким образом, получаем второе уравнение: .

    В результате получается система двух уравнений:

    Произведения мы не знаем, но нам и не нужно его знать, из 1-го уравнения выражаем: – подставляем во 2-е уравнение:

    и доводим его до ума:

    – искомое уравнение биссектрисы. И пусть вас не смущает, что предыдущим способом мы получили уравнение , у этих двух уравнений соответствующие коэффициенты пропорциональны (проверьте на калькуляторе), поэтому они задают одну и ту же прямую.

    Если нужно найти точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной, то никаких проблем:
    – решите систему самостоятельно, и с помощью калькулятора убедитесь, что получились те же самые координаты, что и в предыдущем способе решения.

    Спасибо за ваши письма!

    Как найти центр тяжести треугольника?

    10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.

    Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта № 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство:

    Центр тяжести треугольника?

    Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо отношение

    Таким образом, центр тяжести треугольника:

    Заключительный пункт урока:

    11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

    Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств.

    Для удобства перепишем найденные уравнения сторон:

    Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:

    Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства.

    Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .

    Система линейных неравенств, определяющих треугольник

    И, наконец, для прямой составим многочлен , в который подставим координаты точки : . Таким образом, получаем третье неравенство: .

    Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:

    Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно.

    Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

    Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения, которая освещена в самом начале урока. А теперь можно немного расслабиться, заданий для самостоятельного решения я не придумал. Кандидатур было много, но по основным приёмам решения все они до неприличия похожи на разобранные примеры. . И приснится вам треугольник =)!

    Источники:

    https://obrazovanie.guru/srednee-obrazovanie-i-shkola/kak-najti-perimetr-treugolnika-esli-izvestny-ne-vse-storony.html
    http://jprosto.ru/kak-nayti-uglyi-kogda-izvestnyi-dlinyi-storon-treugolnika/
    https://repetitor-mathematics.ru/treugolnik-vidy-treugolnika-svoistva/
    https://znaniya.guru/matematika/perimetr-treugolnika.html
    http://www.mathprofi.ru/kak_nauchitsa_reshat_zadachi_po_geometrii.html

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.