Как найти больший угол трапеции

    Прямоугольная трапеция: все формулы и примеры задач

    Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

    Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

    У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.

    прямоугольная трапеция

    Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

    Какие обозначения приняты в представленных формулах?

    Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

    Величина Ее обозначение
    a большее основание
    b меньшее основание прямоугольной трапеции
    c, h перпендикулярная к основаниям боковая сторона, высота
    d наклонная боковая сторона
    α острый угол
    β тупой угол
    м средняя линия трапеции
    д1 меньшая диагональ
    д2 большая диагональ

    Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

    Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

    c = h.

    Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

    с = d *sinα;

    c = (a — b) * tg α;

    c = √ (d 2 — (a — b) 2 ).

    Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

    В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

    Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

    площадь прямоугольной трапеции

    d = (a — b) /cosα;

    d = c / sin α;

    d = √ (c 2 + (а – b) 2 ).

    Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

    Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

    Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

    S = (a + b) * h / 2.

    Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

    основание прямоугольной трапеции

    Как быть, если нужно вычислить диагонали?

    В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

    d1 = √ (с 2 + b 2 )

    d1 = √ (h 2 + b 2 ).

    Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

    d2 = √ (с 2 + b 2 ) или d2 = √ (h 2 + а 2 ).

    Задача №1

    Условие. Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм 2 . Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

    Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

    Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с 2 + (а – b) 2 ). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

    Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

    а + b = 30 и а — b = 6.

    Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

    Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

    Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

    стороны прямоугольной трапеции

    Задача №2

    Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

    Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

    Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d 2 = с 2 + (a – b) 2 или (a + b) 2 = с 2 + (a – b) 2 .

    Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия — 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

    В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см 2 .

    Ответ. Искомая площадь 36 см 2 .

    углы в прямоугольной трапеции

    Задача №3

    Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

    Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

    Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Равнобедренная трапеция, её ещё называют равнобокой, имеет равные боковые стороны. Кроме этого, у нее в арсенале есть еще множество интересных и полезных свойств, которые можно с легкостью применять на практике или при решении математических задач.

    Определение, признаки и элементы трапеции

    Трапецией в геометрии принято называть любой четырехугольник, у которого есть две параллельные друг другу стороны, при том что продолжения других двух сторон пересекаются.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Определение же равнобедренной трапеции идет от того, что у нее боковые стороны эквиваленты по длине.

    Свойства равнобедренной трапеции

    Существует всего несколько основных свойств, присущих именно данной фигуре. Сейчас мы рассмотрим каждое из них:

    1. Прямая, которая проходит через середину оснований такой трапеции, является ее осью симметрии, а также она перпендикулярна ее основаниям.
    2. Углы при основаниях трапеции равны.
    3. У равнобедренной трапеции также равны и длины диагоналей. Если диагонали перпендикулярны, тогда высота трапеции будет равна сумме основания, деленной на 2.
    4. Диагональ разбивает фигуру на 2 треугольника.
    5. Биссектрисы углов, принадлежащих одной и той же боковой стороне, всегда перпендикулярны друг другу.
    6. Если мы опустим высоту на большее из оснований трапеции, то получим в итоге 2 отрезка АЕ и ЕВ:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    • Первый отрезок АЕ будет равен сумме оснований, деленной на 2, а второй отрезок ЕВ — разности, разделенной на 2:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Периметр равнобедренной трапеции

    Эту величину найти очень просто. Простейшей формулой будет сложение всех ее сторон. Однако иногда составители задач не дают нам информацию обо всех из сторон.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    В таком случае нам следует в первую очередь найти все стороны фигуры, а затем уже приступать к их сложению.

    Как найти стороны трапеции?

    1. Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.
    2. В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    • Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Средняя линия

    Средней линией в трапеции называется параллельный основаниям отрезок, который делит боковые стороны фигуры на равные части.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    У нее есть множество интересных свойств и теорем с нетрудным доказательством, таких как, например, решение задач на подобие, однако мы на них останавливаться не будем.

    Высота трапеции

    Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.

    Диагональ трапеции

    Эта линия просто идет от одного угла трапеции к другому, причем эти углы противоположны. В равнобедренной трапеции довольно приятным фактом является то, что диагонали в ней равны друг другу.

    А каким образом можно найти длину диагонали? Есть один очень простой способ. Мы можем сделать это, зная все три величины: боковую сторону и каждое из оснований:

    Площадь равнобедренной трапеции

    Самой простой формулой является полусумма оснований, умноженная на высоту. Она подходит к любым трапециям.

    Для второй формулы нужно знать все стороны трапеции. Это по сути усложненная версия первой, но подойдет она в том случае, если вы не знаете высоту.

    Это самые базовые формулы, поэтому очень часто используются в различных задачах.

    Вписанная и описанные окружности

    Интересно, что вписать в трапецию окружность можно только при определенном условии. И это условие выполняется, если мы попарно сложим противоположные стороны нашего четырехугольника, и эти суммы окажутся равны.

    Найти радиус этой окружности не составит труда. Нужно просто разделить высоту пополам.

    А вот с описанной окружностью все не так гладко. Есть различные полезные формулы. Например, если диагональ составляет с основанием прямой угол, то диаметр описанной окружности будет равен противоположному основанию трапеции.

    Теперь разберемся с формулой нахождения радиуса. К слову, она здесь не очень простая. Сначала найдем p — полупериметр ∆DBC, а затем просто применим его в следующей формуле:

    Математика бесспорно является матерью всех современных наук. Она по праву занимает свой престол и управляет абсолютно всеми мировыми законами.

    Одной из наиболее интересных подразделений математики принято считать именно геометрию. Ее фигуры также подчиняются математическим правилам и формулам, поэтому она необходима при различных сложных расчетах.

    Свойства трапеции

    Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Что такое трапеция?

    СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

    Трапеция, вписанная в окружность. ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ Трапеция. Основные понятия и определения Четвертое свойство трапеции Седьмое свойство трапеции ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

    Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой.

    И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ. И ответ: а вот и нет — тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)

    Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?

    Формулы периметра трапеции и примеры применения Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке и )

    Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что и – внутренние односторонние углы при параллельных и и секущей . Поэтому . И точно так же и – внутренние односторонние углы при тех же параллельных и , но секущая теперь – .

    Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

    Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения Опять и – параллельные, а диагональ – секущая. Поэтому .

    А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники и – подобны по двум углам. Их коэффициент подобия равен отношению оснований: .

    Средняя линия трапеции

    Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

    Формулы периметра трапеции и примеры применения Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

    Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения , то есть
    Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований
    Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

    Трапеция, вписанная в окружность

    Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

    Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

    Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

    Подведём итог – он короткий. Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

    Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

    ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

    Трапеция. Основные понятия и определения

    Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

    Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

    Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

    Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

    Первое свойство трапеции

    Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна .

    Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:

    Второе свойство трапеции

    Треугольники и подобны по двум углам. ( и – как накрест лежащие)

    Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:

    Третье свойство трапеции

    Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

    Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

    А теперь формула:

    А вот и само третье свойство трапеции:

    Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

    А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

    Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .

    Проведём — среднюю линию в . Знаем, что и

    Что же из всего этого следует?

    1. (так как через точку можно провести лишь одну прямую параллельную , поэтому и – одна прямая )

    Четвертое свойство трапеции

    Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

    Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками: (трапеция же!) (вписанный четырехугольник) . Ну, и так же .

    Пятое свойство трапеции

    В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1) – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2) и – середины оснований; 3) – точка пересечения диагоналей.

    Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

    Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

    Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

    Шестое свойство трапеции

    Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.

    Седьмое свойство трапеции

    Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

    В трапеции с перпендикулярными диагоналями

    Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

    Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

    • Проведём и .
    • Обозначим ; .
    • Тогда:

    Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине). То есть . Но ведь (так как — параллелограмм) .

    ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

    • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°:
    • и
    • Средняя линия трапеции ( ) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: .
    • Средняя линия параллельна основаниям: .
    • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: .
    • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
    • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей ( и ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: .
    • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: .
    • Равнобедренная (равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны: .

    Свойства равнобедренной трапеции:

    • диагонали равны: ;
    • углы при основании равны: ;
    • сумма противолежащих углов равна : .
    • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

    Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: .

    Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: .

    ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

    1. Стать учеником YouClever,
    2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
    3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

    можно кликнув по этой ссылке.

    Как найти периметр трапеции?

    • Прежде, чем приступить к расчету периметра трапеции, необходимо дать определение понятиям «периметр» и «трапеция», а так же изучить виды трапеций.
    • Периметр – это сумма длин всех сторон геометрической фигуры.
    • Так же в литературе имеется определение, согласно которому периметр – это длина линии, ограничивающей прямоугольную фигуру.
    • Трапеция – четырехугольник, две стороны которого параллельны (основания трапеции), а две другие стороны.

    Виды трапеций

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    • равнобедренная;
    • прямоугольная.
    1. Если боковые стороны трапеции равны, трапеция называется равнобедренной.
    2. В случае, когда одна из боковых сторон оказывается перпендикулярной основаниям – трапеция прямоугольная.

    Определение периметра равнобедренной трапеции

    Периметр равнобедренной трапеции определяется по формуле:

    Периметр ABCD = a+b+c+d=2*a+b+d , где a, c – длина боковых сторон; b, d – длина сторон, являющихся основаниями.

    Таким образом, если стороны равнобедренной трапеции равны – а=с=4см, b=5см, d=6см, периметр составит 19 см.: Периметр ABCD = 2*4+5+6=19 см.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Определение периметра прямоугольной трапеции

    Периметр прямоугольной трапеции определяется по той же формуле, что и периметр равнобедренной, однако в этом случае формула имеет вид:

    Периметр ABCD = АВ+ВС+СD+AD. Рассмотрим пример определения периметра прямоугольной трапеции. В данном примере сторона АВ = 5 см, ВС = 7см, AD = 10 см, длина стороны СD неизвестна.

    • опустим высоту из вершины С, высота CH = AB = 5см;
    • исходя из рисунка 3, AH = BC = 7 см;
    • HD = AD – AH = 10 – 7 = 3 см;
    • далее для нахождения периметра, необходимо определить длину стороны СD, являющейся в равнобедренном треугольнике СHD гипотенузой. Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, таким образом, длина стороны СD = 5,83 см: CD = = 5,83 см;
    • подставляя полученные значения в формулу, получим периметр равный 27,83 см: Периметр ABCD = 5+7+5,83+10 = 27,83 см.

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Итак, определить длину одной из сторон трапеции можно воспользовавшись теоремой Пифагора. Так же, для определения длины различных сторон трапеции могут помочь следующие формулы:

    • формула расчета длины основания через среднюю линию;
    • формулы длин сторон через высоту и угол при нижнем основании трапеции;
    • формулы длин сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями;
    • формулы длин сторон равнобедренной трапеции через площадь.

    Как видно, для решения задач, связанных с расчетом длины сторон трапеции, существует более чем широкий спектр математических приемов, выбор которых обусловлен конкретной ситуацией.

    Нахождение периметра трапеции: формула и задачи

    В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр трапеции и разберем примеры решения задач.

    • Формула вычисления периметра
    • Примеры задач

    Формула вычисления периметра

    Периметр (P) трапеции равняется сумме длин всех ее сторон.

    P = a + b + c + d

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    • b и d – основания трапеции;
    • a и с – ее боковые стороны.
    • Периметр равнобедренной трапеции
    • В равнобедренной трапеции боковые стороны равны (a=c), из-за чего ее, также, называют равнобокой. Периметр считается так:
    • P = 2a + b + d или P = 2с + b + d

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    1. Периметр прямоугольной трапеции
    2. Для расчета периметра используется такая же формула, что и для разносторонней трапеции.
    3. P = a + b + c + d

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Примеры задач

    Задание 1
    Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 7 и 10 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

    Решение:
    Используем стандартную формулу, подставив в нее известные нам длины сторон: P = 7 см + 10 см + 4 см + 5 см = 26 см.

    Задание 2
    Периметр равнобедренной трапеции равняется 22 см. Найдите длину боковой стороны, если основания фигуры равны 3 см и 9 см.

    Решение:
    Как мы знаем, периметр равнобедренной трапеции вычисляется по формуле: P = 2a + b + d, где а – боковая сторона.
    Ее длина, умноженная на два равна: 2a = P – b – d = 22 см – 3 см – 9 см = 10 см.

    Следовательно, длина боковой стороны составляет: a = 10 см / 2 = 5 см.

    Как найти периметр прямоугольной трапеции

    Трапеция – это такой четырехугольник, у которого 2 параллельных основания, а остальные стороны не параллельны друг другу. У прямоугольной трапеции один угол прямой, как вы уже наверняка догадались.

    Шаг 1. Формула вычисления периметра прямоугольной трапеции

    Периметр прямоугольной трапеции вычисляется с помощью суммирования длин всех сторон, что весьма логично. Тут она от остальных фигур ну ничем не отличается:

    Формулы периметра трапеции и примеры применения

    Шаг 2. Решение задач на тему определения периметра прямоугольной трапеции

    Задача №1

    Нужно найти периметр прямоугольной трапеции, когда даны длины всех сторон. Тут всё просто. Складываем все 4 значения, и готово. Это самый лёгкий вариант нахождения периметра. Остальные задачи в итоге всё равно сводятся к нему, но нужно рассмотреть и остальные варианты, интересно же!

    Задача №2

    Нужно найти периметр всё той же прямоугольной трапеции, но в этом случае мы знаем длину нижнего основания AD, которая равна a. Одна из боковых сторон CD, которая не перпендикулярна ему, равна d. Угол между этим основанием и стороной равен Альфа.

    Решение задачи №2

    Катеты находятся по таким формулам: CE = CD*sin(ADC), в свою очередь ED = CD*cos(ADC).

    Верхнее основание вычисляется так: BC = AD — ED = a — CD*cos(ADC) = a — d*cos(Альфа). Длина перпендикулярной стороны считается по формуле: AB = CE = d*sin(Альфа).

    После этих действий вы будете обладать драгоценными знаниями о длине всех сторон трапеции.

    Задача №3

    Требуется найти периметр трапеции, когда даны длины его оснований. AD = a, BC=c. Также мы знаем длину перпендикулярной стороны AB, которая равна b. Острый угол при неперпендикулярной стороне равен Альфа.

    Решение задачи №3

    Для начала проведите высоту трапеции на большее основание, начало которой будет лежать в вершине С.

    После этого восхитительного действия мы получаем отрезок CE и делим трапецию на 2 фигуры: прямоугольник ABCE, а также треугольник ECD (прямоугольный).

    Гипотенузой треугольника в нашем случае будет известная нам сторона CD, один из катетов будет равен перпендикулярной боковой стороне нашей трапеции (опираемся на правило прямоугольника, по которому параллельные стороны равны). Длина другого отрезка будет равна разности оснований трапеции. И опять вроде всё просто.

    Для начала снова проводим перпендикуляр CE и так же получаем прямоугольник ABCE вместе с треугольником CED.

    Осталось найти длину гипотенузы того треугольника, который мы получили, мы с уверенностью можем сказать, что CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).

    Мы снова нашли все длины сторон. Осталось только их сложить. Надеемся, вы сможете сделать это без нас.

    Как найти периметр трапеции

    Трапеция – четырехугольная геометрическая фигура, имеющая две параллельные стороны, которые называются основаниями, и две непараллельные боковые стороны.

    Если боковые стороны равны, то фигура называется равнобедренной трапецией. Прямоугольная трапеция – когда одна боковая сторона образует с основанием прямой угол.

    Для нахождения периметра трапеции можно воспользоваться одним из методов, в зависимости от исходных данных.

    Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон и оснований

    В этом случае никаких затруднений нет. Воспользовавшись формулой P=a+b+c+d и подставив все известные данные, легко найдем периметр трапеции. Например: a=5, b=4, c=6, d=4. Используя формулу, получаем P=5+4+6+4=19

    Данный метод нельзя использовать, если не известна длина хотя бы одной из сторон.

    Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон, верхнего основания и высоты

    Разбиваем трапецию на два треугольника и прямоугольник.

    Для того чтобы можно было воспользоваться формулой P=a+b+c+d, необходимо найти нижнее основание. Его можно представить как выражение k+a+n.

    Далее воспользуемся теоремой Пифагора. Запишем формулу для первого треугольника c^2=h^2+k^2. После преобразований получаем k=(c^2-h^2)^1/2. Для второго треугольника: b^2=h^2+n^2, итого n=(b^2-h^2)^1/2. После всех вычислений получаем P=a+b+(n+a+k)+c.

    Как и в предыдущем методе, необходимо разделить трапецию на прямоугольник и два треугольника. Гипотенузы треугольников являются так же боковыми сторонами трапеции, которые необходимо найти. Меньший катет находим следующим образом.

    Так как трапеция равнобедренная, от длины большего основания вычитаем длину меньшего и делим пополам, т.е. d1=d2=(d-a)/2.

    Воспользовавшись теоремой Пифагора, находим боковые стороны c=(d(1)^2+h^2)^1/2. Далее по формуле P=a+2c+d высчитываем периметр.

    Как найти периметр трапеции, когда известны нижнее основание, боковые стороны и нижние углы

    Рассмотрим пример, когда известны нижнее основание AD, боковые стороны AB и CD, а так же углы BAD и CDA.

    Из вершин B и C проводим две высоты, которые образуют прямоугольник и два прямоугольных треугольника. В треугольнике ABK сторона AB является гипотенузой. Осталось найти катеты по формуле BK=AB*sin(BAK) и AK=AB*cos(BAK). Так как BK и CN – высоты, то они равны. По такой же формуле находим ND=CD*cos(CDN). Осталось вычислить BC=AD-AK-ND. Теперь необходимо сложить все стороны и ответ готов.

    Как найти периметр трапеции, когда известна длина боковых сторон и средней линии

    Средняя линия трапеции равна половине суммы длин ее оснований, т.е. f=(a+d)/2. Когда длина оснований неизвестна, но даны размеры боковых сторон и средней линии, периметр находится по формуле P=2*f+c+b.

    Как видно, найти периметр трапеции не так уж и сложно. Приступая к решению задачи, нужно лишь определить, какие величины известны и каким методом можно воспользоваться. И тогда решить даже сложную задачу не составит труда.

    Калькулятор периметра трапеции

    Трапеция — это особый вид четырехугольника, у которого две противолежащие стороны параллельны друг другу, а две другие — нет. Трапецеидальную форму имеют различные реальные объекты, поэтому вам может понадобиться рассчитать периметр такой геометрической фигуры для решения повседневных или школьных задач.

    Геометрия трапеции

    Трапеция (от греч. «трапезион» — стол) — это фигура на плоскости, ограниченная четырьмя отрезками, два из которых параллельны, а два — нет.

    Параллельные отрезки носят название оснований трапеции, а непараллельные — боковых сторон фигуры.

    Боковые стороны и их углы наклона определяют вид трапеции, которая может быть разносторонней, равнобедренной или прямоугольной. Помимо оснований и боковых сторон, трапеция имеет еще два элемента:

    • высота — расстояние между параллельными основаниями фигуры;
    • средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

    Данная геометрическая фигура широко распространена в реальной жизни.

    Трапеция в реальности

    В повседневной жизни трапецеидальную форму принимают многие реальные предметы. Вы легко найдете трапеции в следующих сферах человеческой деятельности:

    • дизайн интерьеров и декор — диваны, столешницы, стены, ковры, подвесные потолки;
    • ландшафтный дизайн — границы газонов и искусственных водоемов, формы декоративных элементов;
    • мода — форма одежды, обуви и аксессуаров;
    • архитектура — окна, стены, основания зданий;
    • производство — различные изделия и детали.

    При столь широком использовании трапеций специалистам часто приходится вычислять периметр геометрической фигуры.

    Периметр трапеции

    • Периметр фигуры — это числовая характеристика, которая рассчитывается как сумма длин всех сторон n-угольника. Трапеция — это четырехугольник и в общем случае все его стороны имеют разную длину, поэтому периметр рассчитывается по формуле:
    • P = a + b + c + d,
    • где a и c – основания фигуры, b и d – ее боковые стороны.

    Несмотря на то, что при вычислении периметра трапеции нам нет нужды узнавать высоту, программный код калькулятора требует ввода этой переменной. Так как высота никак не влияет на вычисления, при использовании нашего онлайн-калькулятора вы можете ввести любое значение высоты, которое больше нуля. Рассмотрим пару примеров.

    Примеры из реальной жизни

    Платок

    Допустим, у вас есть платок в форме трапеции, и вы хотите отделать его бахромой. Вам понадобится узнать периметр платка, чтобы не купить лишнего материала или не ходить в магазин два раза. Пусть ваш равнобедренный платок имеет следующие параметры: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см. Вбиваем эти данные в онлайн-форму и получаем ответ в виде:

    Таким образом, периметр платка составляет 340 см, и именно такой длины должна быть тесьма бахромы для его отделки.

    Откосы

    К примеру, вы решили сделать откосы для нестандартных металлопластиковых окон, которые имеют трапецеидальную форму. Такие окна широко используются при дизайне зданий, создавая композицию из нескольких створок.

    Чаще всего такие окна выполняются в виде прямоугольной трапеции. Давайте выясним, сколько материала потребуется для выполнения откосов такого окна. Стандартное окно имеет следующие параметры a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см.

    Используем эти данные и получим результат в виде

    Следовательно, периметр трапециевидного окна составляет 390 см, и именно столько вам понадобится купить пластиковых панелей для формирования откосов.

    Заключение

    Трапеция — популярная в повседневности фигура, определение параметров которой может понадобиться в самых неожиданных ситуациях. Расчет периметров трапецией необходим многим профессионалам: от инженеров и архитекторов до дизайнеров и механиков. Наш каталог онлайн-калькуляторов позволит вам выполнить расчеты для любых геометрических фигур и тел.

    Формула периметра трапеции прямоугольной

    Как найти периметр трапеции. Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон.

    ru.wikihow.com > Как найти периметр

    Периметр трапеции | Формулы и расчеты онлайн — Fxyz.ru

    Периметр трапеции, формула. Трапецией называется четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны. Параллелограмм считается частным видом трапеции.

    • fxyz.ru > Периметр трапеции |
    • Как найти периметртрапеции. Способы вычисления периметра
    • Как найти периметртрапеции. Трапеция – четырехугольная геометрическая фигура, имеющая две параллельные стороны, которые называются основаниями, и две непараллельные боковые…
    • sovetclub.ru > Как найти периметр
    • Формулы периметратрапеции и примеры применения

    ru.solverbook.com > Формулы периметра

    1. Периметртрапеции, онлайн расчет
    2. Калькулятор периметратрапеции покажет как находить чему равен периметртрапецииТрапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основание), а две…
    3. calc.ru > Периметр трапеции, онлайн
    4. Как по формуле найти периметртрапеции ?
    5. www-formula.ru > Как по формуле найти
    6. Периметртрапеции | Мозган калькулятор онлайн

    На данной странице калькулятор поможет рассчитать периметр трапеции онлайн. Для расчета задайте стороны трапеции. Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны…

    • mozgan.ru > Периметр трапеции | Мозган
    • Периметртрапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы…
    • Также можно найти периметртрапеции, не зная длин оснований, но имея среднюю линию m. Средняя линия по определению представляет собой полусумму оснований трапеции
    • geleot.ru > Периметр трапеции | Онлайн
    • Периметртрапеции — онлайн-калькулятор периметратрапеции

    Рассчитать периметр трапеции онлайн. Пошаговое решение по основной формуле нахождения периметра трапеции.Периметр трапеции. Содержание. 1. Онлайн-калькулятор.

    studwork.org > Периметр трапеции —

    Как найти периметр трапеции? Ответ на webmath.ru

    Чтобы найти периметр трапеции необходимо найти сумму длин её сторон. В общем случае для произвольной трапеции со сторонами , , , периметр вычисляется по формуле

    webmath.ru > Как найти периметр

    Онлайн калькулятор который поможет найти периметр трапеции

    Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти периметр трапеции. Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления периметра трапеции

    ru.onlinemschool.com > Онлайн калькулятор

    Как найти периметр трапеции? Ответ на webmath.ru

    1. Чтобы найти периметртрапеции необходимо найти сумму длин её сторон. В общем случае для произвольной трапеции со сторонами , , , периметр вычисляется по формуле
    2. webmath.ru > Как найти периметр
    3. Периметртрапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы…
    4. Также можно найти периметртрапеции, не зная длин оснований, но имея среднюю линию m. Средняя линия по определению представляет собой полусумму оснований трапеции
    5. geleot.ru > Периметр трапеции | Онлайн
    6. Периметртрапеции

    Вычисление периметра трапеции по длине четырех сторон. Данный калькулятор может быть полезен при проведении проектировочных, бытовых и учебных геометрических расчетах.

    Найти периметр трапеции

    Данный сервис позволяет найти периметр трапеции. Трапеция – это четырёхугольник, у которого только две из четырёх сторон параллельны. Периметр трапеции равен сумме всех…

    algebra24.ru > Найти периметр

    Найти периметр трапеции. Как найти периметр трапеции

    Что такое периметр? Периметр — это сумма длин всех сторон прямоугольника, к коимПериметр прямоугольной трапеции. Предположим, что нам дана прямоугольная трапеция

    grumy.ru > Найти периметр трапеции.

    • Онлайн калькулятор периметратрапеции. Как узнать периметр
    • Для того, что бы вычислить периметртрапеции нам необходимо знать длину ее сторон. Как только нам стала известна длина ее сторон мы можем легко вычислить периметртрапеции по…
    • tamali.net > Онлайн калькулятор

    Как найти периметр трапеции Как? Так!

    Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых…

    kak-otvet.imysite.ru > Как найти периметр

    Формула периметра трапеции

    Периметр равнобокой трапеции. Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий

    calcsbox.com > Формула периметра

    Формула нахождения периметра трапеции онлайн

    Периметр трапеции. Периметр фигур. Трапецией является плоская геометрическая фигура в виде четырехугольника, у которого имеется две параллельные стороны.

    infofaq.ru > Формула нахождения

    Как найти периметр трапеции

    Как найти периметр трапеции. 3 методика:Основная формулаБоковые стороны не даныВысота или основание не даны. Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны.

    ves-mir.3dn.ru > Как найти периметр

    1. Периметртрапеции | Онлайн калькулятор
    2. Периметртрапеции – это сумма двух оснований и боковых сторон плоской геометрической фигуры. Онлайн-калькулятор вычисляет периметр как правильной, так и иного вида трапеции
    3. allcalc.ru > Периметр трапеции | Онлайн
    4. Как найти периметр прямоугольной трапеции

    Шаг 1. Формула вычисления периметра прямоугольной трапеции. Периметр прямоугольной трапеции вычисляется с помощью суммирования длин всех сторон, что весьма логично.

    • imdiv.com > Как найти периметр
    • Найдите периметртрапеции
    • matematikalegko.ru > Найдите периметр
    • Все формулы по теме Периметртрапеции

    Периметр трапеции. Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна только одна пара противоположных сторон. a, b – основания трапеции.

    formylu.ru > Все формулы по теме

    Периметр трапеции. Найти онлайн по формуле

    Трапеция — четырехугольник, у которого только две стороны параллельны. Периметр трапеции равен сумме четырех его сторон.

    tutata.ru > Периметр трапеции. Найти

    1. 100 формул / Периметртрапеции
    2. (a, b, c, d) — стороны трапеции.
    3. 100formul.ru > 100 формул / Периметр
    4. Программа для вычисления периметратрапеции.

    Программа предназначена для расчета периметра трапеции.Чтобы найти периметр трапеции, введите значения сторон трапеции, затем нажмите кнопку «ВЫЧИСЛИТЬ».

    rapidus.ru > Программа для вычисления

    Найти периметр трапеции — Школьные Знания.com

    Найти периметр трапеции. Загрузить png. Попроси больше объяснений.Боковые стороны трапеции равны 7 и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать…

    • znanija.com > Найти периметр трапеции —
    • Периметртрапеции: онлайн калькулятор, формулы, примеры…
    • Трапеция — это особый вид четырехугольника, у которого две противолежащие стороныПериметр фигуры — это числовая характеристика, которая рассчитывается как сумма длин…
    • BBF.ru > Периметр трапеции: онлайн

    периметр трапеции формула — Bing

    результаты: 269 000Дата Язык Регион

      • РекламаТрапеция стеклоочист 11170520501502- 2995.00 р. Купить сейчас. Доставка · Москва
    1. https://ru.wikihow.com/найти-периметр-трапеции

    Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых сторон не даны, но известны другие величины …

    Формулы периметра. Периметр треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба …

    Периметр трапеции, формула. Трапецией называется четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны.

    Периметр, формулы нахождения периметра. Периметр фигуры это длина всех ее сторон. Не все фигуры имеют периметр, например, шар не имеет периметра.

    Все формулы периметра трапеции. В статье описаны формулы вычисления периметра простой и равнобокой трапеции. Теория и примеры решения задач по теме

    Формула периметра треугольника для треугольника АВС . Если назвать треугольник другими буквами, формула периметра треугольника, соответственно, тоже будет выглядеть иначе.

    Формулы и свойства ромба Трапеция. Формулы и свойства трапеции — Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции — Прямоугольная трапеция.

    21.05.2017 · Формулы периметра и онлайн программы для вычисления периметра. См. также: Программа для расчета периметра прямоугольника. Формулы периметра квадрата: 1) Периметр квадрата равен сумме 4-х длин его сторон или …

    Проектная работа Геометрическая фигура трапеция

    • Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
    • средняя школа №8
    • «Геометрическая фигура трапеция»
    • Работу выполнили ученицы
    • 11 класса МАОУ СШ №8 Соловьёва Арина и Степанова Алина
    • Руководитель: Толкачева Наталья Сергеевна, Коптелова Татьяна Анатольевна
    • МАОУ СШ №8

    с.п. Новосмолинский 2018

    Происхождение слова «трапеция»………………………………………..3

    Трапеция, в повседневной жизни…………………………………………4

    Основные свойства трапеции……………………………………………..7-8

    Свойства трапеции вписанной в окружность……………………………8

    1. Свойства трапеции описанной вокруг окружности……………………9-10
    2. Нахождение площади и периметра трапеции.…………………………10-11
    3. Решение задач………………………………………………………………12-16

    В школьном курсе геометрии, в частности по учебнику Геометрия 7-9 авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кодомцева и др.,понятие трапеции вводится как четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

    Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Вводятся понятия равнобедренного и прямоугольных трапеций (п.44, §1, Гл.5 учебника). Свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции рассматриваются лишь в задачах №388, 389.

    Вводится понятие средней линии трапеции и ее свойство (п.85, §3, Гл. 9). Формула площади трапеции изучается в п.53 §2 Гл.6.

    В материалах же различных контрольных работ и экзаменов( ГИА и ЕГЭ) очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует знания основных ее свойств ,а также тех, которые в школьном курсе или не рассматриваются совсем, или встречаются лишь при решении задач.

    • Цель работы: систематизировать все сведения о трапеции.
    • Наши задачи:
    • Увидеть применение трапеции в повседневной жизни.
    • Повторить весь материал по геометрии за 8-9 класс.
    • Показать применение материала при решении задач ГИА и ЕГЭ.
    • Выполнить анализ полученных результатов.

    Актуальность данной темы определяется необходимостью знать все основные свойства трапеции, уметь решать геометрические задачи при сдаче ГИА, вступительных экзаменов в высшие учебные заведения.

    Большинство таких задач не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода.

    Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае.

    Проблеманашего проекта заключается в том, что большинство школьников либо не владеют материалом на тему «Трапеция», либо знают его отрывками, либо не могут применить при решении задач на ГИА.

    Гипотеза:Трапеция обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если овладеть ими и рассмотреть их на примере задач, то при решении подобных задач на ГИА, вы сможете гарантировать себе дополнительные баллы.

    1. Теоретическая часть.
    2. Происхождение слова трапеция
    3. Трапеция – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две не параллельны

    Трапе́ция. Не знаю, как вас, а меня радуют внезапно открываемые этимологией связи между совсем далекими друг от друга словами. Что общего между «трапеция», «трапеза» (еда) и именем турецкого города Трапезунд? А оно есть.

    По-гречески «trapedza» значило «стол», «trapezion» — «столик». Из второго слова создалось наше «трапеция» — известная математическая фигура с двумя равными и двумя параллельными сторонами: именно такой формы столы бывали в Греции.

    Первое слово — по тем столам, за которыми вкушали пищу монахи византийских монастырей, — начало обозначать и самый этот процесс, еду, — «трапезу»; говорим же мы: «хороший стол», «плохой стол» о еде в каком-нибудь пансионате или доме отдыха. Вы, конечно, сами сообразили, почему «трапецией» называется определенный гимнастический снаряд: конечно, за «трапецеидальную» форму.

    А Трапезунд? Над этим приморским городом высится гора, принадлежащая к типу «столовых». Основателями Трапезунда были греки; они и дали ему такое имя: «Город столовой горы».

    Происхождение слова трапеция в этимологическом Успенского Л. В.:

    Трапе́ция Через нов.-в.-н. Тrареzium — то же из ср.-лат. Trapezium, греч. Τραπέζιον, буквально «столик» (см. Хайзе; Даль 4, 823).

    Происхождение слова трапеция в этимологическом Фасмера М.:

    ТРАПЕЦИЯ. Заимств. В XVIII в. Из лат. Яз., где trapezium ВС) вписана в окружность с центром О. Известно, что sin LAOB = 5

    а средняя линия трапеции равна а. Найдите высоту трапеции.

    Решение. Трапеция ABCD вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Обозначим LAOB = α. ПосколькуАОВ — централь­ный угол окружности, а ADB — вписанный,

    LADB= = .

    ПустьВН — высота трапеции. Тогда DH=т. е. катет DHпрямоугольного треугольника BHD равен средней линии трапеции. Следовательно, ВН = DH tg .

    • По условию задачи sin α = , поэтому
    • cosα== =
    • или
    • cosα== = —
    • Тогда
    • tg
    • или
    • tg
    • Следовательно,BD=αtg .
    • Ответ: или.

    Пример 5. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные —17 и 25.

    1. Решение.
    2. Через вершину С меньшего основания ВС трапецииАВСD проведём прямую, параллель­ную боковой стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке К.
    3. В треугольнике СКD:
    4. KD=44-16=28,p=
    5. По формуле Герона
    6. SCKD== 210
    7. C другой стороны, SCKD=
    8. Отсюда 210=14h,
    9. h=15
    10. SABCD=
    11. Ответ: 450.

    Пример 6. В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

    • Решение.
    • Диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.
    • Треугольник АОD – равнобедренный и прямоугольный.
    • Пусть АО=ОD=x, тогда по теореме Пифагора
    • х2+х2=402
    • х=20 .
    • ОР – медиана треугольника АОD
    • По формуле медианы ОР=
    • Подставляя в формулу АО=ОD=20 ,AD=40. Получим, ОР=20
    • Треугольник ВОС – равнобедренный и прямоугольный.
    • Пусть ВО=ОС=у, тогда по теореме Пифагора
    • у2+у2=242
    • у=12 .
    • ОК – медиана треугольника ВОС
    • По формуле медианы ОК=
    1. Подставляя в формулу ВО=ОС=12 , ВС=24. Получим, ОК=12
    2. КР=РО+ОК=20+12=32
    3. SABCD=
    4. SABCD=
    5. Ответ: 1024
    6. Заключение

    Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») одна из важнейших геометрических фигур, часто используемых в производстве предметов быта, в строительстве, дизайне одежды и т.д.

    Поэтому столь скромное место, отведенное в школьном курсе геометрии, можно считать несправедливым. Трапеция, ее свойства заслуживают более подробного изучения не только ради успешной сдачи контрольных работ, экзаменов и т.д.

    , но и в знак уважения геометрической фигуры, которая столь часто используется в различных областях своей деятельности современным человеком.

    Список литературы:

    -Геометрия,7-9: учебн. для общеобразоват. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2008г.

    -Геометрия, 10-11 : учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и проф. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].-17-е изд.-М. : Просвещение, 2008.-255 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019245-3. –

    Совет 1: Как обнаружить угол в трапеции

    Трапеция – это плоский четырехугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны. Они именуются основаниями трапеции , а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции .

    Как обнаружить угол в трапеции

    Инструкция

    1. Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует довольного числа дополнительных данных. Разглядим пример, в котором знамениты два угла при основании трапеции . Пускай вестимы углы ∠BAD и ∠CDA, обнаружим углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция владеет таким свойством, что сумма углов при всякой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.

    Как обнаружить угол в <b>трапеции</b>

    2. В иной задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-либо добавочные углы. Скажем, как на рисунке, может быть вестимо, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Разглядим треугольник ABC, он равнобедренный, потому что AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC – y. Сумма углов всякого треугольник а равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° – 2x. В то же время из свойств трапеции : y + x + α = 180° и следственно 180° – 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы обнаружили два угла трапеции : ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° – 2α.Потому что AB = CD по условию, то трапеция равнобокая либо равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° – 2α.

    Как обнаружить угол в <b>трапеции</b>

    Совет 2: Как обнаружить угол между диагоналям

    Диагональ многоугольника – отрезок, тот, что соединяет две не граничащие между собой вершины фигуры (т.е. несмежные вершины либо не принадлежащие одной стороне многоугольника ). В параллелограмме, зная длину диагоналей и длину сторон, дозволено рассчитать углы между диагоналями .

    Как обнаружить угол между диагоналям

    Инструкция

    1. Для комфорта воспринятия информации начертите на листе бумаги произвольный параллелограмм АВСD (параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны). Объедините противоположные вершины отрезками. Полученные АС и ВD – диагонали. Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Нужно обнаружить углы ВОС (АОD) и СOD (АОВ).

    2. Параллелограмм владеет целым рядом математических свойств:- диагонали точкой пересечения делятся напополам; – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника ;- сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов;- сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам;- сумма квадратов диагоналей равна двойственный сумме квадратов его смежных сторон.

    3. Дабы обнаружить углы между диагоналями , воспользуйтесь теоремой косинусов из теории элементарной геометрии (Евклидовой). Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника (A) дозволено получить, сложив квадраты 2-х его других сторон (B и C), и из полученной суммы вычесть двойное произведение этих сторон (B и C) на косинус угла между ними.

    4. Применительно к треугольнику ВОС параллелограмма АВСD теорема косинусов будет выглядеть дальнейшим образом:Квадрат ВС = квадрат ВО + квадрат ОС – 2*ВО*ОС*cos угла ВOCОтсюда соs угла BOC = (квадрат ВС –квадрат ВО – квадрат ОС) / (2*ВО*ОС)

    5. Обнаружив значение угла ВОС (АОD) легко вычислить значение иного угла, заключенного между диагоналями – СОD (АОВ). Для этого из 180 градусов вычтите значение угла ВОС (АОD) – т.к. сумма смежных углов равна 180 градусам, а углы ВОС и СОD и углы АОD и АОВ – смежные.

    Видео по теме

    Совет 3: Как обнаружить углы четырёхугольника

    Для решения этой задачи способами векторной алгебры, вам нужно знать следующие представления: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить качество суммы внутренних углов четырехугольника.

    Как обнаружить углы четырёхугольника

    Вам понадобится

    • – бумага;
    • – ручка;
    • – линейка.

    Инструкция

    1. Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной всецело, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Расположение вектора огромнее ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, владеющие идентичными длинами и одним направлением. Следственно при применении координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (предисловие располагается в начале координат).

    2. По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов именуется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец в конце второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это дозволено продолжать и дальше, строя цепочку подобно расположенных векторов. Изобразите данный четырехугольник ABCD векторами a, b, c и d в соответствии рис. 1. Видимо, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.

    Как обнаружить углы четырёхугольника

    3. Скалярное произведение в данном случае комфортнее каждого определить на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Тут ф1 – угол между векторами a и d. Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими выражением: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

    4. Основные представления векторной алгебры в привязке к поставленной задаче, приводят к тому, что для однозначной постановки этой задачи довольно задание 3 векторов, расположенных, возможен, на AB, BC, и CD, то есть a, b, c. Дозволено финально сразу задать координаты точек A, B, C, D, но данный метод является избыточным (4 параметра взамен 3-х).

    5. Пример. Четырехугольник ABCD задан векторами его сторон AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Обнаружить углы между его сторонами. Решение. В связи с высказанным выше, 4-й вектор (для AD) d(dx,dy)=a+ b+c==<1,3>. Следуя методике вычисления угла между векторами аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10))=п-ф1. В соответствии с примечанием 2 – ф4=2п- ф1 – ф2- ф3=п/4.

    Видео по теме

    Обратите внимание!
    Примечание 1. В определении скалярного произведения применяется угол между векторами. Тут, скажем, ф2 – это угол между АВ и ВС, а между a и b данный угол п-ф2. сos(п- ф2)=- сosф2. Подобно для ф3.Примечание 2. Знаменито, что сумма углов четырехугольника равна 2п. Следственно ф4=2п- ф1 – ф2- ф3.

    Равнобедренная трапеция — свойства, признаки и формулы

    Равнобедренная трапеция, её ещё называют равнобокой, имеет равные боковые стороны. Кроме этого, у нее в арсенале есть еще множество интересных и полезных свойств, которые можно с легкостью применять на практике или при решении математических задач.

    Определение, признаки и элементы трапеции

    Трапецией в геометрии принято называть любой четырехугольник, у которого есть две параллельные друг другу стороны, при том что продолжения других двух сторон пересекаются.

    Определение же равнобедренной трапеции идет от того, что у нее боковые стороны эквиваленты по длине.

    Свойства равнобедренной трапеции

    Существует всего несколько основных свойств, присущих именно данной фигуре. Сейчас мы рассмотрим каждое из них:

    Первый отрезок АЕ будет равен сумме оснований, деленной на 2, а второй отрезок ЕВ — разности, разделенной на 2:

    Периметр равнобедренной трапеции

    Эту величину найти очень просто. Простейшей формулой будет сложение всех ее сторон. Однако иногда составители задач не дают нам информацию обо всех из сторон.

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    В таком случае нам следует в первую очередь найти все стороны фигуры, а затем уже приступать к их сложению.

    Как найти стороны трапеции?

    Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.

    В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании:

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    Средняя линия

    Средней линией в трапеции называется параллельный основаниям отрезок, который делит боковые стороны фигуры на равные части.

    У нее есть множество интересных свойств и теорем с нетрудным доказательством, таких как, например, решение задач на подобие, однако мы на них останавливаться не будем.

    Высота трапеции

    Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.

    Диагональ трапеции

    Эта линия просто идет от одного угла трапеции к другому, причем эти углы противоположны. В равнобедренной трапеции довольно приятным фактом является то, что диагонали в ней равны друг другу.

    А каким образом можно найти длину диагонали? Есть один очень простой способ. Мы можем сделать это, зная все три величины: боковую сторону и каждое из оснований:

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    Площадь равнобедренной трапеции

    Самой простой формулой является полусумма оснований, умноженная на высоту. Она подходит к любым трапециям.

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    Для второй формулы нужно знать все стороны трапеции. Это по сути усложненная версия первой, но подойдет она в том случае, если вы не знаете высоту.

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    Это самые базовые формулы, поэтому очень часто используются в различных задачах.

    Вписанная и описанные окружности

    Интересно, что вписать в трапецию окружность можно только при определенном условии. И это условие выполняется, если мы попарно сложим противоположные стороны нашего четырехугольника, и эти суммы окажутся равны.

    Найти радиус этой окружности не составит труда. Нужно просто разделить высоту пополам.

    Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

    А вот с описанной окружностью все не так гладко. Есть различные полезные формулы. Например, если диагональ составляет с основанием прямой угол, то диаметр описанной окружности будет равен противоположному основанию трапеции.

    Теперь разберемся с формулой нахождения радиуса. К слову, она здесь не очень простая. Сначала найдем p — полупериметр ∆DBC, а затем просто применим его в следующей формуле:

    Математика бесспорно является матерью всех современных наук. Она по праву занимает свой престол и управляет абсолютно всеми мировыми законами.

    Одной из наиболее интересных подразделений математики принято считать именно геометрию. Ее фигуры также подчиняются математическим правилам и формулам, поэтому она необходима при различных сложных расчетах.

    Трапеция. Прямоугольник. Ромб. Квадрат

    Урок 2: Трапеция

    Рассмотрим четырехуг-к, у которого параллельны только две стороны, а две оставшиеся не параллельны. Такая фигура именуется трапецией.

    1 trapeciya

    На рисунке трапеция выглядит следующим образом:

    2 trapeciya

    Параллельные стороны именуются основаниями трапеции, а другие две – это боковые стороны.

    3 trapeciya

    4 trapeciya

    Обратите особое внимание на то, что одно из оснований всегда больше второго основания. Действительно, если бы основания имели одинаковую длину, то получился бы четырехуг-к, у которого две противоположные стороны и равны, и параллельны. Однако это уже один из признаков параллелограмма, а параллелограмм никак не может быть трапецией.

    Иногда полезно представлять трапецию как усеченный треуг-к. Действительно, если в треугольнике провести линию, параллельную одной из сторон и пересекающую две остальные стороны, то она как бы «отсечет» верхушку этого треуг-ка, и получится трапеция. И наоборот, любую заданную трапецию можно достроить до треугольника:

    5 trapeciya

    Сумма всех 4 углов трапеции составляет, как и у любого четырехугольника, 360°.

    Задание. Известно, что у трапеции АВСD АD||ВС, ∠А = 36°, ∠С = 117°. Найдите∠В и D.

    6 trapeciya

    Решение: АВ можно рассматривать как секущую параллельных прямых ВС и АD. Но тогда∠А и ∠В будут являться односторонними , а их сумма будет равна 180°. Отсюда можно найти ∠В:

    7 trapeciya

    Аналогично, рассматривая в качестве секущей СD, можно найти и ∠D, который вместе с∠С является односторонним:

    8 trapeciya

    Средняя линия трапеции

    Если отметить середину каждой из боковых сторон трапеции, а потом соединить эти середины, то получится отрезок, именуемый средней линией трапеции.

    9 trapeciya

    Докажем важную теорему, связанную со средней линией:

    10 trapeciya

    Для этого изучим трапецию АВСD, у которой боковые стороны – это АВ и CD. Пусть М – середина АВ. Проведем через М прямую, параллельную основаниям, которая пересечет СD в точке N. По теореме Фалеса параллельные друг другу прямые АD, МN и ВС отсекут на прямой СD равные отрезки, то есть СN = ND. Но это означает, что N– середина CD, а тогда MN – средняя линия (согласно ее определению). Естественно, что в трапеции возможно построить только одну среднюю линию, а значит, средняя линия МN параллельна каждому из оснований.

    Прямоугольная и равнобедренная трапеция

    Существует два частных вида трапеции, обладающих особыми свойствами. Первый из них – это прямоугольная трапеция. Она отличается тем, что один из ее углов равен 90°.

    11 trapeciya

    Здесь∠А = 90°. Легко догадаться, что на самом деле если у трапеции хоть один угол составляет 90°, то найдется и ещё один угол, также равный 90°. В данном случае это ∠В. Сумма ∠A и ∠D должна составлять 180°, ведь они односторонние. Именно поэтому из условия

    12 trapeciya

    Задание. Основания прямоугольной трапеции имеют длину 10 и 15 см, а один из углов составляет 45°. Вычислите длину ее наименьшей боковой стороны?

    13 trapeciya

    Пусть основания заданной трапеции – это отрезки АD и ВС, ∠А = 45°, ∠D = ∠C = 90°. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на АD:

    14 trapeciya

    Очевидно, что ВН||CD, ведь эти отрезки перпендикулярны одной прямой АD. Получается, что в четырехуг-ке НВСD противоположные стороны попарно параллельны, то есть он является параллелограммом. Отсюда вытекает равенство его сторон:

    15 trapeciya

    Нашли СD, но является ли этот отрезок именно меньшей боковой стороной трапеции? Для ответа на этот вопрос вернемся к ∆АВН. В нем АВ – это гипотенуза, а потому она заведомо больше катета ВН, то есть больше 5 см. Значит, именно CD – это меньшая боковая сторона.

    Ещё один особый вид трапеции – равнобедренная трапеция. Она отличается тем, что у неё длины боковых сторон одинаковы.

    16 trapeciya

    Равнобедренная трапеция обладает рядом интересных свойств. Начнем с того, что углы при каждом из ее оснований равны.

    17 trapeciya

    В итоге мы получили четырехуг-к АВСН, в котором АВ||CН, ВС||АН. Это значит, что он является параллелограммом, и тогда

    18 trapeciya

    Отсюда сразу же вытекает и второе свойство равнобедренной трапеции – у неё равные диагонали.

    19 trapeciya

    20 trapeciya

    Действительно, треуг-ки ∆АВD и ∆АСD равны, ведь

    21 trapeciya

    Оказывается, есть признаки, которые позволяют определить, является ли трапеция равнобедренной. Сформулируем первый из них:

    22 trapeciya

    Для доказательства снова построим в трапеции АВСD такую прямую СН, что СН||АВ:

    23 trapeciya

    24 trapeciya

    Несколько сложнее доказать другую теорему:

    25 trapeciya

    Пусть в трапеции АВCD одинаковы диагонали ВD и АС. Для определенности будем считать, что большее основание – это АD. Опустим из точек В и С перпендикуляры ВЕ и СF на АD:

    26 trapeciya

    Ясно, что эти перпендикуляры параллельны друг другу, ведь они перпендикулярны третьей прямой. Тогда в ВСFЕ противоположные стороны параллельны, то есть эта фигура – параллелограмм. Отсюда вытекает, что

    Далее рассмотрим ∆ВЕD и ∆АСF. Они оба являются прямоугольными, у них одинаковы гипотенузы (АС = ВD), а также и катеты ВЕ и СF. Значит, эти треуг-ки равны, следовательно,

    27 trapeciya

    Задание. Один из углов равнобедренной трапеции составляет 55°. Найдите все остальные углы этой трапеции.

    28 trapeciya

    Решение. Проще всего найти ∠D, ведь углы при основании равнобедренной трапеции одинаковы:

    29 trapeciya

    Заметим одно важное обстоятельство. Если достроить равнобедренную трапецию до треугольника, продолжив ее боковые стороны, то получится равнобедренный треуг-к:

    30 trapeciya

    Действительно, если АВСD – равнобедренная трапеция, то

    Пусть продолжения боковых сторон пересеклись в некоторой точке Е. Тогда в ∆АЕD два угла, ∠А и ∠D, окажутся равными, следовательно, ∆АЕD– равнобедренный.

    Прямоугольник

    Следующим особым четырехугольником является прямоугольник (иногда его сокращенно обозначают как прямоуг-к). Его отличительный признак заключается в том, что все его углы – прямые.

    31 trapeciya

    Продемонстрируем несколько прямоугольников:

    32 trapeciya

    Очевидно, что у прямоуг-ка противоположные стороны параллельны, ведь они перпендикулярны одной и той же прямой. Следовательно, всякий прямоуг-к одновременно является параллелограммом и обладает всеми его свойствами. Стоит особо отметить, что обратное утверждение неверно – отнюдь не всякий параллелограмм является прямоугольником. Другими словами, прямоугольник – это частный случай параллелограмма, который отличается тем, что его углы составляют 90°.

    33 trapeciya

    Из этого вытекает два свойства прямоугольника:

    • его противоположные стороны равны;
    • точка пересечения его диагоналей является серединой этих самых диагоналей.

    Однако есть ещё одно свойство, которое НЕ характерно для остальных параллелограммов.

    Доказать это очень просто. Пусть есть прямоугольник АВCD:

    34 trapeciya

    Сравним ∆АВD и ∆АСD. Они являются прямоугольными, у них есть общий катет АD, а два других катете, АВ и СD, равны как противоположные стороны прямоугольника. Получается, что рассматриваемые треуг-ники равны, и поэтому равны и их гипотенузы, которые как раз и являются диагоналями прямоугольника.

    Оказывается, верна и обратная теорема, которую называют признаком прямоугольника:

    35 trapeciya

    Действительно, пусть есть некоторый параллелограмм АВCD, у которого одинаковы диагонали АС и BD.

    36 trapeciya

    Противоположные стороны в одном параллелограмме одинаковы:

    37 trapeciya

    В итоге все углы АВСD оказываются прямыми, и эта фигура по определению оказывается прямоуг-ком.

    Задание. В прямоуг-ке ABCD проведена биссектриса, которая делит сторону СD на отрезки СК и КD длиной 27 и 45 см соответственно. Найдите периметр АВCD.

    38 trapeciya

    Решение.Для нахождения периметра необходимо найти длины всех сторон.

    Если АК – биссектриса, то

    39 trapeciya

    ∆КАD является прямоугольным, и мы только что нашли один из его острых углов. Тогда можно найти и 2-ой угол:

    40 trapeciya

    Получается, что в ∆АКD два угла равны 45°, значит, он является равнобедренным, и

    41 trapeciya

    Мы нашли две смежные стороны прямоугольника, АD и СD. Две другие стороны будут им равны:

    42 trapeciya

    Следующая особенная фигура – это ромб. Дадим определение ромба:

    43 trapeciya

    На рисунке видно, что ромб похож на параллелограмм, и это не случайно. Докажем, что любой ромб является частным случаем параллелограмма. Но прежде заметим, что обратное утверждение неверно – отнюдь не каждый параллелограмм является ромбом.

    Для доказательства этого факта проведем диагональ ромба:

    44 trapeciya

    В результате получилось два треуг-ка: ∆АВС и ∆АСD. Можно заметить два факта. Во-первых, каждый из этих треуг-ков – равнобедренный, ведь стороны ромба равны. Тогда можно записать равенство углов:

    45 trapeciya

    Из равенства треуг-ков вытекает и равенство углов:

    46 trapeciya

    Тогда очевидно, что ∠А и ∠С также равны, ведь они состоят из двух равных углов:

    47 trapeciya

    В итоге получается, что в ромбе противоположные углы одинаковы. Зная, что все 4 угла в сумме дают 360°, легко найдем сумму каких-нибудь двух смежных углов:

    48 trapeciya

    Итак, сумма смежных углов в ромбе равна 180°. Но эти углы можно рассматривать как односторонние. Если их сумма равна 180°, то и соответствующие прямые (в частности, ВС и АD) параллельны. Аналогично доказывается и то, что АВ||CD. Это и значит, что АВСD– параллелограмм.

    49 trapeciya

    Продолжим рассматривать построенный нами рисунок, но добавим в него ещё одну диагональ:

    50 trapeciya

    Во-первых, мы уже доказали следующее равенство

    51 trapeciya

    Из него вытекает, что диагональ АС является биссектрисой для∠А и ∠С. Аналогично и для диагонали ВD можно показать, что и она разбивает ∠В и ∠D пополам. Можно сформулировать следующее свойство ромба:

    52 trapeciya

    Далее рассмотрим ∆АВD. Он равнобедренный, а АО является биссектрисой, падающей на основание ВD. Но в равнобедренном треуг-ке такая биссектриса одновременно является высотой, то есть

    53 trapeciya

    Получается, что диагонали всякого ромба обязательно пересекаются под прямым углом.

    54 trapeciya

    Задание. Длина стороны ромба совпадает с длиной одной из его диагоналей. Определите углы этого ромба.

    Решение. Построим рисунок по условию задачи:

    55 trapeciya

    Легко заметить, что∆АВС и ∆АСD будут равносторонними. Однако все углы равностороннего треуг-ка равны 60°:

    56 trapeciya

    Итак, два угла ромба будут равны 60°, а другие два 120°.

    Квадрат

    Последний особый случай четырехугольника – это квадрат. Эта фигура, которая сразу является и прямоугольником, и ромбом. Естественно, что любой квадрат одновременно является параллелограммом. Дадим определение квадрата:

    57 trapeciya

    Свойства квадрата – это совокупность свойств параллелограмма, ромба и прямоуг-ка.Это значит, что его диагонали:

    • равны;
    • пересекаются под углом 90°;
    • точка их пересечения – это середина диагоналей.

    Задание. Середины сторон квадрата соединили отрезками. Докажите, что получившаяся фигура также является квадратом.

    Решение. Требуется доказать, что фигура, показанная красным цветом, является квадратом:

    58 trapeciya

    Так как стороны квадрата одинаковы, то одинаковы и их половины:

    59 trapeciya

    Получается, что ∆АМН, ∆МВР, ∆РСК и ∆КНD – прямоугольные, причем у них равны все катеты. Это значит, что, с одной стороны, они являются равнобедренными треуг-ками, а с другой стороны, они равны друг другу. Мы уже знаем, что у равнобедренного прямоугольного треуг-ка углы при основании составляют по 45°, а из равенства треуг-ков вытекает, что

    60 trapeciya

    Получается, что у четырехуг-ка МРКН все стороны одинаковы, то есть он является ромбом. Осталось доказать, что все его углы прямые. Рассмотрим, например, ∠РМН. Он в сумме с ∠ВМР и ∠АМН дает 180°, что позволяет вычислить его:

    61 trapeciya

    Итак, все углы ромба МРКН прямые, значит, он является квадратом.

    Мы видим, что есть множество видов четырехугольников, причем часто одна и та же фигура может относиться сразу к нескольким типам. Для наглядности покажем на одной картинке всю иерархию четырехугольников. Здесь на одном рисунке можно увидеть название всех видов четырехугольников, их форму, также главное свойство, по которым их и определяют:

    62 trapeciya

    Симметрия

    В заключение рассмотрим также такое важное геометрическое понятие, как симметрия.

    63 trapeciya

    В случае, показанном на рисунке,А1 и А2 не лежат на b. Если же рассматривается точка, лежащая на b, то она считается симметричной самой себе. На рисунке пары точек А и B, C и D, M и N симметричны относительно b.Для точки же Р нельзя найти парную ей симметричную точку. Поэтому условно считается, что она симметрична сама себе.

    64 trapeciya

    Теперь перейдем к такому понятию, как симметричная фигура.

    65 trapeciya

    В качестве иллюстрации приведем равнобедренный треуг-к. У него роль оси симметрии играет медиана, проведенная к основанию. Выберем на треугольнике произвольные точки А1, В1, С1 и D1. Далее отметим симметричные им относительно b точки, которые обозначим как А2, В2, С2 и D2. Видно, что они также принадлежат треугольнику:

    66 trapeciya

    Рассмотрим для иллюстрации и какую-нибудь несимметричную фигуру, например, треугольник с 3 разными сторонами:

    67 trapeciya

    Видно, что например, для точка А1 симметричная ей А2 НЕ принадлежит треугольнику, поэтому красная линия НЕ является осью симметрии.

    Осевая симметрия присуща и многим другим фигурам:

    68 trapeciya

    Обратите внимание, что осей симметрии фигуры может быть несколько. У ромба их две (это его диагонали), у квадрата уже четыре (помимо диагоналей добавляются ещё и линии, соединяющие середины его противоположных сторон), а у окружности их и вовсе бесконечно много, так как любой ее диаметр может играть эту роль.

    Возможен ещё один случай симметрии:

    69 trapeciya

    На приведенном рисунке С – это середина АВ, поэтому А и В симметричны, а точка С для них является центром симметрии.

    Снова перейдем от отдельных точек к фигурам.

    70 trapeciya

    В частности, центральная симметрия присуща параллелограмму (его центром симметрии будет точка, в которой пересекаются его диагонали), а также окружность. Есть центральная симметрия и у любой прямой, причем в качестве центра симметрии фигуры можно выбрать любую точку, принадлежащую этой прямой:

    71 trapeciya

    Симметрия – это не просто умозрительная геометрическая конструкция, она встречается и в реальной жизни. Например, листья многих деревьев обладают осевой симметрией, а зубчатое колесо – центральной симметрией. Интересно, что из 32 выделяемых в царстве животных типов у представителей 28 (это более 99% известных видов) можно выделить правую и левую половину, которые симметричны друг другу. Архитекторы и конструктора при проектировании зданий и машин стремятся придать им симметричную форму, так как в большинстве случаев именно такая форма оказывается оптимальной и экономичной.

    Источники:

    https://www.syl.ru/article/199718/new_pryamougolnaya-trapetsiya-vse-formulyi-i-primeryi-zadach
    https://student-madi.ru/prochee/formuly-perimetra-trapetsii-i-primery-primeneniya.html
    http://jprosto.ru/kak-nayti-ugol-v-trapetsii/
    https://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/85455-ravnobedrennaia-trapeciia-svoistva-priznaki-i-formyly.html
    https://100urokov.ru/predmety/urok-2-trapeciya

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.