Перейти к содержимому

Через среднюю линию основания треугольной

    08. Призма II

    в

    Продолжаем решать задачи из открытого банка Заданий №8 ЕГЭ по математике . В этот раздел попадают стереометрические задачи.

    Итак, сегодня работаем с призмой.

    Задача 1.

    Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.

    389087dae8e7dd88c8250467ac3c2d76

    Боковая поверхность данной прямой призмы – четыре равных прямоугольника.

    р

    Нам потребуется длина стороны ромба. Найдем ее по т. Пифагора из треугольника (по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам):

    Задача 2.

    Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.

    3

    Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

    Задача 3.

    Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 15, а площадь поверхности равна 930.

    4b77feb149b13ef53686a64f18a07141

    В основании правильной четырехугольной призмы – квадрат и боковое ребро призмы перпендикулярно основанию.

    То есть где – длина бокового ребра призмы.

    Задача 4.

    Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

    4

    Объем призмы вычисляется по следующей формуле: ( – высота, в данном случае и боковое ребро прямой призмы).

    При этом в основании – прямоугольный треугольник, площадь которого находится как полупроизведение катетов:

    Задача 5.

    В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1300 см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

    pic-1

    м

    Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен объему прямой призмы с высотой 3 и основанием, равным основанию исходной призмы. То есть объем вытесненной жидкости составляет объема жидкости.

    Итак, объем детали есть

    Задача 6.

    В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

    pic-1

    Пусть сторона основания правильной призмы – . Тогда площадь основания Объем воды, налитой в призму до уровня 18 см, равен

    Переливаем воду в другой сосуд в виде призмы с основанием . Тогда площадь основания

    Объем перелитой воды тот же, то есть

    поэтому , где – высота уровня воды.

    Задача 7.

    Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

    353b267c2013feb3c313028d5a955343

    1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

    п

    2) В основании правильной призмы – квадрат.

    Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).

    3) Площадь боковой поверхности призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это 1 и 2.

    Задача 8.

    Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 1.

    10

    1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

    2) В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.

    ,

    Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из прямоугольного треугольника с углом 30°(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу 30°, есть половина стороны треугольника):

    где – cсторона треугольника.

    4) Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – есть сумма площадей трех равных прямоугольников с измерениями 6 и 1 (высота призмы).

    Задача 9.

    Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 1.

    104d513cea7de3f3a8f8400a1fd77d8c

    Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы составлена из шести равных друг другу прямоугольников с измерениями (сторона основания) и (высота призмы).

    Выразим через заданный :

    Правильный шестиугольник составлен из шести равных правильных треугольников (см. рис.).

    m

    Высота (радиус вписанной окружности) является и биссектрисой, и медианой.

    Подставляя известное значение , имеем:

    Задача 10.

    Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

    630280100b3a1c947450f4b01ea81bcf

    Площадь каждой боковой грани отсеченной призмы вдвое меньше соответствующей площади боковой грани исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

    Стало быть, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 13.

    Задача 11.

    Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 19,5. Найдите объем исходной призмы.

    630280100b3a1c947450f4b01ea81bcf

    Так как плоскость проведена через среднюю линию основания, то площадь основания отсеченной призмы меньше площади основания исходной в 4 раза (основания (как треугольники)) подобны друг другу с коэффициентом подобия 2, значит площади находятся в отношении ).

    Высоты призм совпадают.

    Поэтому объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы, то есть равен

    Задача 12.

    Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 8, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 30°.

    d208102cf7eb1a42bdbb4620fb536be6

    Объем призмы есть где – высота призмы, – площадь основания.

    гр

    Площадь основания – 6 площадей правильных треугольников со стороной 8:

    Высота же есть половина бокового ребра призмы (см. рис. (высота – катет, противолежащий углу в 30° в прямоугольном треугольнике):

    Задача 13.

    В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 16 и отстоит от других боковых ребер на 9 и 12. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

    р

    нг

    Площадь боковой поверхности наклонной призмы есть где – длина бокового ребра, – периметр перпендикулярного сечения призмы (это сечение – прямоугольный треугольник согласно условию).

    В нашем случае , а ( третью сторону сечения находим по т. Пифагора: ).

    Задача 14.

    Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 19. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в семь раз?

    cv

    Достаточно просто сказать следующее:

    Площали поверхностей подобных многогранников находятся в отношении (если коэффициент подобия – ). А при увеличении каждого ребра исходной призмы в 7 раз мы получаем именно призму, подобную исходной.

    Поэтому площадь поверхности новой призмы будет в 49 раз больше исходной, то есть будет равняться 931.

    Задача 15.

    Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 3.

    98671051e74287977d0b15e91f71da27

    1) Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы есть , где – сторона основания призмы, – высота призмы (или боковое ребро).

    2) Высота цилиндра равна высоте призмы.

    m

    3) Найдем сторону основания призмы:

    О – цент описанной окружности – точка пересечения медиан (высот, биссектрис треугольника (основания призмы) ).

    По свойству медиан (см. рис.), значит, Итого, высота треугольника равна

    Далее по т. Пифагора значит сторона треугольника .

    (Заметим, можно и сразу найти сторону правильного треугольника через , если знать формулу ).

    коло

    Время передохнуть немного. –>+ показать

    Наглядная иллюстрация пересечения двух множеств 🙂

    hyg

    тест

    Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

    • 08. Пирамида
    • 08. Конус
    • 08. Составные многогранники II
    • 08. Куб. Параллелепипед
    • 08. Конус. Цилиндр
    • 08. Цилиндр.

    1-я задача, по условию можно подумать что 25 – это не ребро призмы, а сторона ромба, формулировка явно не верна, хотя я понимаю что задачу не вы составляли 😉

    Все-таки, там точно сказано – боковое ребро! Поэтому разногласий быть не должно.

    Как найти среднюю линию треугольника?

    Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

    • Прямой. Один угол прямой, два других меньше 90 градусов.
    • Острый. Градус угла больше 0, но меньше 90 градусов.
    • Тупой. Один угол тупой, два других — острые.

    Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

    Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

    Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

    Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

    Свойства треугольников:

    • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
    • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
    • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
    • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    Понятие средней линии треугольника

    Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

    ​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

    ​Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

    Как найти среднюю линию треугольника расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

    Понятие средней линии прямоугольного треугольника

    Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

    Средняя линия прямоугольного треугольника

    Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

    В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

    Свойства средней линии треугольника

    Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

    Свойства:

    1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
    2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
    3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
    4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

    Теорема о средней линии треугольника

    Теорема о средней линии треугольника звучит так:

    Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

    Теорема о средней линии треугольника

    Докажем теорему:

      По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

    По второму признаку подобия треугольников:

    △ABC можно выписать и отношение их третьих сторон отношение третьей стороны

    Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA. Найти периметр ΔMNK.

    Задание найти середины сторон треугольника

      Сначала проверим существует ли указанный в условии треугольник ΔABC. Проверим это при помощи неравенства для его наибольшей стороны:

    Ответ: периметр треугольника равен 10.

    Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть три средние линии: MN, NP, MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

    Задание найти площадь большого прямоугольного треугольника.

      В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP — это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора:

    Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 25.

    Приходите решать увлекательные задачки в современную школу Skysmart. Ребенка ждет интерактивный формат, примеры разной сложности и онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

    Запишитесь на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься с удовольствием уже завтра!

    Средние линии

    Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

    Средние линии треугольника

    На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .

    Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

    Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .

    Средние линии треугольника

    Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.

    Первую часть утверждения 1 мы доказали.

    Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).

    Средние линии треугольника

    Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство

    что и требуется доказать.

    Доказательство утверждения 1 закончено.

    • Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
    • Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .

    Средние линии треугольника

    Средняя линия трапеции

    Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

    Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

    Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

    Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .

    Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    Доказательство . Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G . Рассмотрим треугольники BCF и FDG . У этих треугольников стороны CF и FD равны, поскольку точка F – середина стороны CD . Углы BCF и FDG равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей CD . Углы BFC и DFG равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники BCF и FDG равны. Из равенства треугольников BCF и FDG следует равенство отрезков BF и FG , откуда вытекает, что отрезок EF является средней линией треугольника ABG . Поэтому

    что и требовалось доказать.

    Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.

    Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Средняя линия трапеции

    Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.

    Средняя линия трапеции

    Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:

    Из этих соотношений получаем:

    откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.

    Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

    Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.

    Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

    Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

    Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

    Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .

    Замечание 1 . Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

    Средние линии четырехугольник теорема Вариньона

    На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник» ABCD , средними линиями которого являются отрезки EF и GH .

    Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

    Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

    Теорема Вариньона . Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограмма параллелограмма .

    Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.

    Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника» ABCD доказательство остаётся тем же (рис. 13).

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Утверждение 6 . Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник ABCD , у которого отрезок EF является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    Средние линии четырехугольника теорема Вариньона

    что и требовалось доказать.

    Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

    Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

    Средние линии тетраэдра

    Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).

    Средние линии тетраэдра

    У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .

    Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.

    Средние линии тетраэдра

    У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.

    Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

    Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).

    Средние линии тетраэдра

    Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому

    Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .

    Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:

    Геометрические фигуры

    Перед тем как приводить формулу объема треугольной призмы, рассмотрим свойства этой фигуры.

    Чтобы получить этот вид призмы, необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками. Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники. Три оставшиеся стороны – это параллелограммы.

    Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

    Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, …, n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

    Правильная треугольная призма – это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

    Формула объема треугольной призмы правильной

    Многогранник, который мы изучаем, будет правильным, если две его грани являются одинаковыми треугольниками равносторонними и три грани — это одинаковые прямоугольники. Формулу для объема такой призмы несложно получить из выражения общего вида, записанного в пункте выше. Чтобы это сделать, рассчитаем сначала площадь основания:

    So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

    Значение высоты треугольника ha получено, исходя из того факта, что для равностороннего основания она является также медианой и биссектрисой. Таким образом, площадь So является функцией только одного параметра (стороны a).

    Формулу объема для изучаемой призмы можно получить, если умножить на высоту выражение выше:

    Поскольку для рассматриваемой фигуры высота равна длине бокового ребра b, то полученное выражение также можно переписать через параметры a и b.

    Элементы треугольной призмы

    Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы .

    Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы .

    Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

    Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

    Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

    Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

    Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

    Найти объем призмы, зная площадь основания и высоту

    Найти объем правильной треугольной призмы, зная ребра

    Объем правильной фигуры через значение ее диагонали

    Треугольная призма является самой простой фигурой из своего класса, поэтому она обладает всего одним единственным типом диагонали. Это диагонали трех ее параллелограммов.

    Предположим, что имеется правильная фигура, диагональ которой равна d (это диагональ прямоугольника), а высота равна h. Как рассчитать ее объем?

    Для начала следует определить значение стороны основания a. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

    Тогда формула объема треугольной призмы приобретает вид:

    V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

    В случае правильной призмы объем всегда является функцией двух параметров (h и d в данном выражении).

    Виды призм

    • Прямая призма – это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
    • Наклонная призма – это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
    • Правильная призма – это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
    • Усечённая призма – это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

    Определение

    Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

    Вычисление объема правильной пятиугольной призмы

    • Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь . [5]

    • А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
    • А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см 2 .

    • 105 см 2 x 10 см = 1050 см 3 .

    Формула вычисления объема призмы

    Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.

    V = Sосн ⋅ h

    • Sосн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
    • h – высота призмы.

    Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:

    • прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
    • правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
    • наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.

    Необычная формула объёма призмы

    Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

    – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

    – длина бокового ребра.

    Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

    Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

    Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

    Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

    Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

    Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

    Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

    Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

    Вычисление объема трапецеидальной призмы

    • Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
    • 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см 2 .

    • 70 см 2 x 12 см = 840 см 3 .

    Основные свойства призмы

    • Основание призмы – равные многоугольники
    • Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
    • Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
    • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
    • Боковые грани призмы – параллелограммы
    • Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
    • В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

    Объем треугольной призмы общего типа

    Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

    Здесь h – это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, So – площадь треугольника.

    Величину So можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

    Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

    Площадь поверхности призмы

    Формула. Площадь поверхности правильной призмы через высоту ( h ), длину стороны ( a ) и количество сторон ( n ):

    S = n a 2 ctg π + nah
    2 n

    Пример призмы

    В этом примере:
    — ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
    — ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
    — Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
    — Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

    Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании

    Прямоугольный треугольник представляет собой фигуру из трех сторон, две из которых пересекаются под прямым углом. Эти стороны называются катетами. Обозначим их a1 и a2. Третья сторона называется гипотенузой (a3). Из планиметрии известно каждому школьнику, что если взять половину произведения катетов, то можно получить площадь рассматриваемого треугольника, то есть:

    Так как призма является прямой, то достаточно умножить на So длину ее бокового ребра b, чтобы получить объем фигуры:

    Задачи на расчет треугольной призмы

    Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
    Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

    V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

    Задача 2.

    Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

    Решение:

    Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

    Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

    Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

    Источники:

    https://egemaximum.ru/prizma/
    https://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-srednyuyu-liniyu-treugolnika
    https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mline.htm
    https://exceltut.ru/geometricheskie-figury/

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Adblock
    detector